水平方向と$90^\circ$, $30^\circ$の傾きを持つなめらかな板の間に、質量$5kg$の半径の等しい球を入れたとき、接触点A, B, C, Dにおける反力の大きさを求める。

1. 問題の内容

水平方向と$90^\circ$, $30^\circ$の傾きを持つなめらかな板の間に、質量$5kg$の半径の等しい球を入れたとき、接触点A, B, C, Dにおける反力の大きさを求める。

2. 解き方の手順

球の質量を$m$、重力加速度を$g$とする。$m = 5 kg$、$g = 9.8 m/s^2$である。球に働く重力は$W = mg$である。

球1について、接触点C, Dにおける反力をそれぞれ$R_C$, $R_D$とする。球1には重力$W$、反力$R_C$, $R_D$が働く。

力の釣り合いより、

水平方向：$R_D - R_C \sin 30^\circ = 0$

鉛直方向：$R_C \cos 30^\circ - W = 0$

$R_C \cos 30^\circ = W$より、

$R_C = \frac{W}{\cos 30^\circ} = \frac{mg}{\cos 30^\circ} = \frac{5 \times 9.8}{\sqrt{3}/2} = \frac{98}{\sqrt{3}} \approx 56.58 N$

$R_D = R_C \sin 30^\circ = \frac{1}{2} R_C = \frac{1}{2} \times \frac{98}{\sqrt{3}} = \frac{49}{\sqrt{3}} \approx 28.29 N$

球2について、接触点A, Bにおける反力をそれぞれ$R_A$, $R_B$とする。球2には重力$W$、反力$R_A$, $R_B$が働く。

力の釣り合いより、

斜面方向：$R_A - W \cos 30^\circ = 0$

水平方向：$R_B - R_D = 0$

$R_A = W \cos 30^\circ = mg \cos 30^\circ = 5 \times 9.8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{49\sqrt{3}}{2} \approx 42.44 N$

$R_B = R_D = \frac{49}{\sqrt{3}} \approx 28.29 N$

したがって、

$R_A = \frac{49\sqrt{3}}{2} N \approx 42.44 N$

$R_B = \frac{49}{\sqrt{3}} N \approx 28.29 N$

$R_C = \frac{98}{\sqrt{3}} N \approx 56.58 N$

$R_D = \frac{49}{\sqrt{3}} N \approx 28.29 N$

3. 最終的な答え

$R_A = \frac{49\sqrt{3}}{2} N \approx 42.44 N$

$R_B = \frac{49}{\sqrt{3}} N \approx 28.29 N$

$R_C = \frac{98}{\sqrt{3}} N \approx 56.58 N$

$R_D = \frac{49}{\sqrt{3}} N \approx 28.29 N$