中心が点 $(-2, 4)$ で、直線 $x - 2y - 5 = 0$ に接する円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が点 $(-2, 4)$ で、直線 $x - 2y - 5 = 0$ に接する円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式は、中心 $(a, b)$、半径 $r$ とすると、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

で表されます。この問題では、中心が $(-2, 4)$ なので、

$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = r^2$

となります。

次に、円が直線 $x - 2y - 5 = 0$ に接するという条件から半径 $r$ を求めます。円の中心から直線までの距離が半径 $r$ に等しくなります。点 $(x_0, y_0)$ から直線 $ax + by + c = 0$ までの距離 $d$ は、次の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

今回の場合は、点 $(-2, 4)$ から直線 $x - 2y - 5 = 0$ までの距離なので、

$r = \frac{|1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 4 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2 - 8 - 5|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-15|}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5}$

したがって、$r^2 = (3\sqrt{5})^2 = 45$ となります。

よって、求める円の方程式は、

$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 45$

となります。

3. 最終的な答え

$(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 45$