三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$のとき、$b$と$c$の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{2}$, $B = 45^\circ$, $C = 105^\circ$のとき、$b$と$c$の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$A$の角度を求める。三角形の内角の和は$180^\circ$なので、

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$b$を求める。

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$b = \frac{\sqrt{2} \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

$c$を求める。

$\frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 105^\circ}$

$c = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ}$

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$

$c = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} + 1$

3. 最終的な答え

$b = 2$

$c = 1 + \sqrt{3}$