三角形ABCにおいて、辺aの長さが$\sqrt{13}$、辺bの長さが3、辺cの長さが4であるとき、角Aの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺aの長さが$\sqrt{13}$、辺bの長さが3、辺cの長さが4であるとき、角Aの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いる。角Aに対する余弦定理は、

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

である。この式を変形して、$\cos{A}$について解くと、

$\cos{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

となる。与えられた値を代入すると、

$\cos{A} = \frac{3^2 + 4^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 13}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

$\cos{A} = \frac{1}{2}$となる角Aは、$A = 60^\circ$である。

3. 最終的な答え

$60^\circ$