$\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=\sqrt{2}$, $C=30^\circ$ のとき、$a$, $A$, $B$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=\sqrt{2}$, $C=30^\circ$ のとき、$a$, $A$, $B$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を用いて $\sin B$ を求める。

正弦定理より、

$$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

$$\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$$

$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ を代入して、

$$\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$$

$$\sin B = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $B$ は、$B = 45^\circ$ または $B = 135^\circ$ である。

$B = 135^\circ$ の場合、$B+C = 135^\circ + 30^\circ = 165^\circ < 180^\circ$ なので、あり得る。

$B = 45^\circ$ の場合、$B+C = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ < 180^\circ$ なので、あり得る。

(i) $B = 45^\circ$ のとき、

$A = 180^\circ - (B+C) = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$

正弦定理より、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$

$$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} \sin 105^\circ$$

ここで、$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、

$$a = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{12} + \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{2} = \sqrt{3} + 1$$

(ii) $B = 135^\circ$ のとき、

$A = 180^\circ - (B+C) = 180^\circ - (135^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$

正弦定理より、

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$

$$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{\sqrt{2} \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \sin 15^\circ}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} \sin 15^\circ$$

ここで、$\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

よって、

$$a = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = \sqrt{3} - 1$$

3. 最終的な答え

$B=45^\circ$ のとき、$A = 105^\circ$, $a = \sqrt{3}+1$

$B=135^\circ$ のとき、$A = 15^\circ$, $a = \sqrt{3}-1$