三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{2}$, $c = 1$であるとき、角Aの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{2}$, $c = 1$であるとき、角Aの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて角Aを求める。余弦定理は以下のように表される。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos{A}$

この式を$\cos{A}$について解くと、

$\cos{A} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

与えられた値を代入して計算する。

$a = \sqrt{5}, b = \sqrt{2}, c = 1$より

$\cos{A} = \frac{(\sqrt{2})^2 + 1^2 - (\sqrt{5})^2}{2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1} = \frac{2 + 1 - 5}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos{A} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$を満たすAの角度は、$A = 135^\circ$である。

3. 最終的な答え

135°