大きさの等しい立方体を、図のように積み上げていく。20段積み上げたときに、全部で何個の立方体が必要になるかを求める。図は4段の場合の例が示されている。

1. 問題の内容

大きさの等しい立方体を、図のように積み上げていく。20段積み上げたときに、全部で何個の立方体が必要になるかを求める。図は4段の場合の例が示されている。

2. 解き方の手順

まず、各段に必要な立方体の個数を数える。図からわかるように、1段目は1個、2段目は3個、3段目は6個、4段目は10個となっている。これらの数は、階差数列になっていると考えられる。階差数列の一般項を求め、その和を計算することで、20段積み上げたときに必要な立方体の総数を求める。

各段の個数を $a_n$ とすると、

$a_1 = 1$

$a_2 = 3$

$a_3 = 6$

$a_4 = 10$

階差数列 $b_n$ は、

$b_1 = a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$

$b_2 = a_3 - a_2 = 6 - 3 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 10 - 6 = 4$

したがって、$b_n = n+1$ と推測できる。

数列 $a_n$ の一般項は、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k+1) = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2} + (n-1) = 1 + \frac{n^2 - n}{2} + n - 1 = \frac{n^2 - n + 2n}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$

20段積み上げたときに必要な立方体の総数 $S_{20}$ は、数列 $a_n$ の第20項までの和である。

$S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = \sum_{n=1}^{20} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{20} (n^2 + n) = \frac{1}{2} (\sum_{n=1}^{20} n^2 + \sum_{n=1}^{20} n)$

$\sum_{n=1}^{N} n = \frac{N(N+1)}{2}$

$\sum_{n=1}^{N} n^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}$

より、

$\sum_{n=1}^{20} n = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$

$\sum_{n=1}^{20} n^2 = \frac{20(20+1)(2 \cdot 20 + 1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870$

$S_{20} = \frac{1}{2} (2870 + 210) = \frac{1}{2} \cdot 3080 = 1540$

3. 最終的な答え

1540個