与えられた数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ の第1000項を求め、初項から第1000項までの和を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ の第1000項を求め、初項から第1000項までの和を求める。

2. 解き方の手順

まず、数列の規則性を把握する。

数列は、$1$が1回、$2$が2回、$3$が3回、というように、自然数$n$が$n$回繰り返される数列である。

次に、第1000項がどの数になるか調べる。

$n$までの数の繰り返しの合計は、$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$で表される。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 1000$となる最大の$n$を見つける。

$\frac{n(n+1)}{2} \approx 1000$より、$n(n+1) \approx 2000$。

$n^2 \approx 2000$と考え、$n \approx \sqrt{2000} \approx 44.7$。

$n = 44$の場合、$\frac{44(44+1)}{2} = \frac{44 \times 45}{2} = 22 \times 45 = 990$

$n = 45$の場合、$\frac{45(45+1)}{2} = \frac{45 \times 46}{2} = 45 \times 23 = 1035$

したがって、第990項は$44$で、第1035項は$45$である。

よって、第1000項は$45$である。

次に、初項から第1000項までの和を求める。

初項から第990項までの和は、

$S_{990} = \sum_{k=1}^{44} k^2 = \frac{44(44+1)(2 \times 44 + 1)}{6} = \frac{44 \times 45 \times 89}{6} = \frac{22 \times 15 \times 89}{1} = 22 \times 1335 = 29370$

第991項から第1000項まではすべて$45$であるから、その和は$45 \times (1000-990) = 45 \times 10 = 450$

したがって、初項から第1000項までの和は、

$S_{1000} = S_{990} + 450 = 29370 + 450 = 29820$

3. 最終的な答え

第1000項: 45

初項から第1000項までの和: 29820