数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ の第1000項と、初項から第1000項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ の第1000項と、初項から第1000項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の規則性を見つけます。

数列は、1が1個、2が2個、3が3個、...、nがn個と並んでいます。

まず、第1000項を求めます。

nがn個並ぶ数列の項数は、

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ で表されます。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 1000$ となる最大の整数nを求めます。

$n(n+1) \le 2000$ です。

$n^2 + n - 2000 \le 0$

$n$ を近似的に求めるために、$n^2 \approx 2000$ を考えると、$n \approx \sqrt{2000} \approx 44.7$ となります。

$n=44$ のとき $\frac{44(45)}{2} = 990 < 1000$

$n=45$ のとき $\frac{45(46)}{2} = 1035 > 1000$

したがって、第1000項は45です。

次に、初項から第1000項までの和を求めます。

初項から第990項までの和は、

$1\cdot1 + 2\cdot2 + 3\cdot3 + \dots + 44\cdot44 = \sum_{k=1}^{44} k^2$ です。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より、

$\sum_{k=1}^{44} k^2 = \frac{44(45)(89)}{6} = \frac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6} = 22 \cdot 15 \cdot 89 = 330 \cdot 89 = 29370$ です。

第991項から第1000項はすべて45なので、

$45 \times (1000 - 990) = 45 \times 10 = 450$ です。

したがって、初項から第1000項までの和は、

$29370 + 450 = 29820$ です。

3. 最終的な答え

第1000項: 45

初項から第1000項までの和: 29820