与えられた数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ の第1000項と、初項から第1000項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, \dots$ の第1000項と、初項から第1000項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の規則性を見つけます。数列は、1が1個、2が2個、3が3個、...と、自然数 $n$ が $n$ 個並ぶ数列です。

第1000項を求めるために、$n$ 個の数が並ぶところまで足し合わせて、1000に最も近い数になる $n$ を探します。

$1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ です。

$\frac{n(n+1)}{2} \le 1000$ を満たす最大の整数 $n$ を求めます。

$n(n+1) \le 2000$ となる $n$ を探すと、

$n=44$ のとき、$44 \times 45 = 1980$

$n=45$ のとき、$45 \times 46 = 2070$

よって、$n=44$ です。

$\frac{44 \times 45}{2} = 990$ なので、数列の第990項は44です。

したがって、第991項から第1000項までは45になります。

よって、第1000項は45です。

次に、初項から第1000項までの和を求めます。

初項から第990項までの和は、

$S_{990} = \sum_{k=1}^{44} k \cdot k = \sum_{k=1}^{44} k^2 = \frac{44(44+1)(2 \cdot 44+1)}{6} = \frac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6} = 22 \cdot 15 \cdot 89 = 29370$

第991項から第1000項までは、すべて45なので、その和は $45 \times (1000 - 990) = 45 \times 10 = 450$ です。

したがって、初項から第1000項までの和は、

$S_{1000} = S_{990} + 450 = 29370 + 450 = 29820$

3. 最終的な答え

第1000項は 45 です。

初項から第1000項までの和は 29820 です。