質量$M$の一様な棒の一端を長さ$l$の糸でつるし、他端に水平力$F$を加えてつりあわせたとき、糸と棒が鉛直線となす角$\theta$を求める。

1. 問題の内容

質量$M$の一様な棒の一端を長さ$l$の糸でつるし、他端に水平力$F$を加えてつりあわせたとき、糸と棒が鉛直線となす角$\theta$を求める。

2. 解き方の手順

まず、棒にはたらく力を考える。

- 重力$W = Mg$（棒の中央に作用）

- 水平力$F$（棒の端に作用）

- 糸の張力$T$（棒の端に作用）

これらの力がつりあっているとき、以下の条件が成り立つ。

1. 力のつりあい：水平方向と鉛直方向の力の和がそれぞれ0

2. モーメントのつりあい：任意の点まわりのモーメントの和が0

まず、力のつりあいを考える。

水平方向：

$T\sin\theta = F$ (1)

鉛直方向：

$T\cos\theta = Mg$ (2)

次に、点Aまわりのモーメントのつりあいを考える。

棒の長さを$a$とする。

$Mg \cdot \frac{a}{2}\sin\alpha = F \cdot a \cos\alpha$

$\frac{Mg}{2} \sin\alpha = F \cos\alpha$

$\tan\alpha = \frac{2F}{Mg}$ (3)

ここで、$\alpha$は棒が鉛直線となす角である。

また、$\alpha = \theta$ であるから、(3)より

$\tan\theta = \frac{2F}{Mg}$

$\theta = \arctan(\frac{2F}{Mg})$

3. 最終的な答え

$\theta = \arctan(\frac{2F}{Mg})$