静水時に5.0 m/sで進む船が、流速3.0 m/s、幅1.0 × 10^2 mの川を岸に対して垂直に渡りたい。 (1) 船が川を垂直に渡るための船首の向きを、静水時の船の速度 $\vec{v_船}$、川の速度 $\vec{v_川}$、合成速度 $\vec{v}$ を用いて図示する。 (2) 岸に垂直な向きに対する船首の傾きを $\theta$ とする。$\tan{\theta}$ を求める。 (3) 船が対岸に渡るのにかかる時間を求める。

## 回答

1. 問題の内容

静水時に5.0 m/sで進む船が、流速3.0 m/s、幅1.0 × 10^2 mの川を岸に対して垂直に渡りたい。

(1) 船が川を垂直に渡るための船首の向きを、静水時の船の速度 $\vec{v_船}$、川の速度 $\vec{v_川}$、合成速度 $\vec{v}$ を用いて図示する。

(2) 岸に垂直な向きに対する船首の傾きを $\theta$ とする。$\tan{\theta}$ を求める。

(3) 船が対岸に渡るのにかかる時間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 図示

船が岸に対して垂直に進むためには、船首を川上に向ける必要がある。

$\vec{v_船}$、$\vec{v_川}$、$\vec{v}$の関係は、以下のようになる。$\vec{v} = \vec{v_船} + \vec{v_川}$。

$\vec{v}$が岸に垂直な方向を向き、$\vec{v_船}$と$\vec{v_川}$が$\vec{v}$に対して斜めになるように図示する。

(2) $\tan{\theta}$の計算

船が岸に対して垂直に進むためには、$\vec{v_船}$の川の流れ方向の成分と$\vec{v_川}$の大きさが等しくなければならない。

したがって、

$v_船 \sin{\theta} = v_川$

$\sin{\theta} = \frac{v_川}{v_船} = \frac{3.0}{5.0} = 0.6$

また、$\cos{\theta} = \sqrt{1 - \sin^2{\theta}} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$

$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} = \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} = 0.75$

(3) 対岸に渡るのにかかる時間の計算

合成速度 $\vec{v}$ の大きさ $v$ は、

$v = v_船 \cos{\theta} = 5.0 \times 0.8 = 4.0 \text{ m/s}$

川の幅 $L = 1.0 \times 10^2 \text{ m}$ を $v$ で割ると、対岸に渡るのにかかる時間 $t$ が求められる。

$t = \frac{L}{v} = \frac{1.0 \times 10^2}{4.0} = 25 \text{ s}$

3. 最終的な答え

(1) 図示：略（上記の説明を参照）

(2) $\tan{\theta} = 0.75$

(3) 25 s