図3に示す張り出し梁において、点Aにおけるたわみ角 $\theta_A$ と点Cにおけるたわみ $y_C$ を求める。ただし、AB間は曲げ剛性 $2EI$、BD間は曲げ剛性 $EI$ である。また、各区間の長さは $l$ であり、A点には上向きに荷重Pが作用している。

1. 問題の内容

図3に示す張り出し梁において、点Aにおけるたわみ角 $\theta_A$ と点Cにおけるたわみ $y_C$ を求める。ただし、AB間は曲げ剛性 $2EI$、BD間は曲げ剛性 $EI$ である。また、各区間の長さは $l$ であり、A点には上向きに荷重Pが作用している。

2. 解き方の手順

たわみ角とたわみを求めるには、まず反力を求める必要がある。

ステップ1: 反力の計算

B点とD点における反力をそれぞれ $R_B$、 $R_D$ と仮定する。力のつり合いより、

$R_B + R_D = P$ (1)

B点を基準としたモーメントのつり合いを考えると、

$P \cdot l - R_D \cdot 2l = 0$

$R_D = \frac{P}{2}$ (2)

(1)と(2)より、

$R_B = P - \frac{P}{2} = \frac{P}{2}$ (3)

ステップ2: たわみ角 $\theta_A$ の計算

A点におけるたわみ角 $\theta_A$ は、AB間の曲げモーメントと曲げ剛性を用いて計算できる。AB間の曲げモーメント $M_{AB}$ は、

$M_{AB} = Px$

ここで、xはA点からの距離である。

たわみ角 $\theta_A$ は、AB間の曲げモーメントを曲げ剛性で割ったものを積分することで求められる。

$\theta_A = \int_0^l \frac{M_{AB}}{2EI} dx = \int_0^l \frac{Px}{2EI} dx = \frac{P}{2EI} \int_0^l x dx = \frac{P}{2EI} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^l = \frac{Pl^2}{4EI}$

ステップ3: たわみ $y_C$ の計算

C点のたわみ $y_C$ を求める。まずは、C点より左側の範囲の曲げモーメントを求める。C点より左側の範囲はBD間であるため、曲げ剛性はEIとなる。C点のたわみは、以下の公式を用いて求める。

$y_C = \frac{R_D \cdot l^3}{3EI} - \frac{R_B \cdot l^3}{3EI} = \frac{\frac{P}{2} \cdot l^3}{3EI} = \frac{Pl^3}{6EI}$

ステップ4: 符号の検討

$\theta_A$について、上向きの荷重PによってA点には時計回りのモーメントが発生するため、たわみ角は時計回り（正）となる。

$y_C$について、荷重PによりC点は下向きにたわむため、たわみは下向き（負）となる。

したがって、$y_C = -\frac{Pl^3}{6EI}$

3. 最終的な答え

点Aにおけるたわみ角 $\theta_A = \frac{Pl^2}{4EI}$

点Cにおけるたわみ $y_C = -\frac{Pl^3}{6EI}$