静止した池で、4隻の船 A, B, C, D がそれぞれ速度 $v_A, v_B, v_C, v_D$ で運動しています。すべての船の速さは $3.0 m/s$ です。以下の相対速度を求め、ベクトルとして図示し、その向きと大きさを求めてください。ただし、$ \sqrt{2} = 1.4$ とします。 (1) A に対する B の相対速度 (2) C に対する D の相対速度 (3) B に対する C の相対速度 (4) D に対する B の相対速度

1. 問題の内容

静止した池で、4隻の船 A, B, C, D がそれぞれ速度 $v_A, v_B, v_C, v_D$ で運動しています。すべての船の速さは $3.0 m/s$ です。以下の相対速度を求め、ベクトルとして図示し、その向きと大きさを求めてください。ただし、$\sqrt{2} = 1.4$ とします。

(1) A に対する B の相対速度

(2) C に対する D の相対速度

(3) B に対する C の相対速度

(4) D に対する B の相対速度

2. 解き方の手順

相対速度は、観測者の速度を引くことで求められます。

(1) A に対する B の相対速度: $v_{BA} = v_B - v_A$

$v_B$ は北向き $3.0 m/s$、$v_A$ は南向き $3.0 m/s$。したがって、$v_{BA}$ は北向き $3.0 m/s$ から南向き $3.0 m/s$ を引くので、$v_{BA} = 3.0 m/s (北) + 3.0 m/s (北) = 6.0 m/s (北)$

(2) C に対する D の相対速度: $v_{DC} = v_D - v_C$

$v_D$ は東向き $3.0 m/s$、$v_C$ は西向き $3.0 m/s$。したがって、$v_{DC}$ は東向き $3.0 m/s$ から西向き $3.0 m/s$ を引くので、$v_{DC} = 3.0 m/s (東) + 3.0 m/s (東) = 6.0 m/s (東)$

(3) B に対する C の相対速度: $v_{CB} = v_C - v_B$

$v_C$ は西向き $3.0 m/s$、$v_B$ は北向き $3.0 m/s$。したがって、$v_{CB}$ は西向き $3.0 m/s$ から北向き $3.0 m/s$ を引くので、$v_{CB}$ の向きは南西になります。 大きさは、三平方の定理より $v_{CB} = \sqrt{(3.0)^2 + (3.0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 3(1.4) = 4.2 m/s$。 向きは南西です。

(4) D に対する B の相対速度: $v_{BD} = v_B - v_D$

$v_B$ は北向き $3.0 m/s$、$v_D$ は東向き $3.0 m/s$。したがって、$v_{BD}$ は北向き $3.0 m/s$ から東向き $3.0 m/s$ を引くので、$v_{BD}$ の向きは北西になります。 大きさは、三平方の定理より $v_{BD} = \sqrt{(3.0)^2 + (3.0)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 3(1.4) = 4.2 m/s$。 向きは北西です。

3. 最終的な答え

(1) A に対する B の相対速度: 北向き $6.0 m/s$

(2) C に対する D の相対速度: 東向き $6.0 m/s$

(3) B に対する C の相対速度: 南西向き $4.2 m/s$

(4) D に対する B の相対速度: 北西向き $4.2 m/s$