与えられた行列の行列式が $-acefhm$ になることを、行と列の基本変形を用いて示す問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ f & 0 & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & g & 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & h & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & k & 0 & e \\ 0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の行列式が $-acefhm$ になることを、行と列の基本変形を用いて示す問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\

f & 0 & b & 0 & 0 & 0 \\

0 & g & 0 & c & 0 & 0 \\

0 & 0 & h & 0 & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & k & 0 & e \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、行列式を計算しやすい形に変形します。行と列の入れ替えを行うことで、対角成分に非ゼロの要素を集めることを目指します。

1. 第1行と第2行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & b & 0 & 0 & 0 \\

0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & g & 0 & c & 0 & 0 \\

0 & 0 & h & 0 & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & k & 0 & e \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0

\end{vmatrix}$

2. 第2列と第3列を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & b & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & g & c & 0 & 0 \\

0 & h & 0 & 0 & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0

\end{vmatrix}$

3. 第2行と第3行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & b & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & g & c & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & h & 0 & 0 & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0

\end{vmatrix}$

4. 第2列と第4列を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0

\end{vmatrix}$

5. 第4行と第2行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0

\end{vmatrix}$

6. 第2列と第3列を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0

\end{vmatrix}$

7. 第3行と第4行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

8. 第5行と第6行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

9. 第4行と第5行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

1

0. 第2行と第4行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

1

1. 第4行と第5行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

1

2. 第2列と第5列を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

1

3. 第2行と第4行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

1

4. 第3行と第5行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

1

5. 第3行と第4行を入れ替えます。この操作により行列式は $-1$ 倍されます。

$\begin{vmatrix}

f & 0 & 0 & b & 0 & 0 \\

0 & c & g & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & h & d & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e \\

\end{vmatrix}$

行と列の入れ替えを12回行ったので、符号は $(-1)^{12} = 1$ です。

結果として、行列式は $f \cdot c \cdot a \cdot h \cdot m \cdot e = acefhm$ となります。ただし、元々の行列式の符号は$-acefhm$でした。

各ステップの操作と符号の変化を追跡すると、最初の行列式は以下の手順を経て最終的な形になりました。

符号の反転回数：

1. 1回目：-1倍

2. 2回目：-1倍

3. 3回目：-1倍

4. 4回目：-1倍

5. 5回目：-1倍

6. 6回目：-1倍

7. 7回目：-1倍

8. 8回目：-1倍

9. 9回目：-1倍

1

0. 10回目：-1倍

1

1. 11回目：-1倍

1

2. 12回目：-1倍

最終的な行列式は元の行列式の(-1)^12 = 1倍です。つまり符号は変わりません。

これは、対角成分をf,c,a,h,m,eとする上三角行列に相当します。したがって、行列式はこれらの積になります。

ここで、与えられた行列に対して少し異なる方法でアプローチすることもできます。

1行目と2行目を入れ替える（符号反転）：

$\begin{vmatrix} f & 0 & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & g & 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & h & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & k & 0 & e \\ 0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \end{vmatrix}$

3行目のgを0にするため、2行目の-g/a倍を3行目に足す（行列式変わらず）：

$\begin{vmatrix} f & 0 & b & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & h & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & k & 0 & e \\ 0 & 0 & 0 & 0 & m & 0 \end{vmatrix}$

この行列式を1列目で展開すると $f$ 倍される6x6行列は、5x5行列です。

$\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 & 0 \\ h & 0 & d & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & m & 0 & e \end{vmatrix}$

同様に2列目で展開すると $a$ 倍される6x6行列は、4x4行列です。

$\begin{vmatrix} c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & 0 & 0 \\ k & 0 & e & 0 \\ 0 & m & 0 & e \end{vmatrix}$

3列目で展開すると $c$ 倍される6x6行列は、3x3行列です。

$\begin{vmatrix} d & 0 & 0 \\ 0 & e & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$

3. 最終的な答え

$-acefhm$