次の方程式・不等式を解く問題です。 (1) $10^{2\log_{10}x} = 4$ (2) $\log_{\sqrt{2}}(2-x) + \log_2(x+1) = 1$ (3) $\log_3 x - 3\log_x 3 = 2$ (4) $\log_3 x + 2\log_9(x-6) < 3$ (5) $8(\log_2 \sqrt{x})^2 - 3\log_8 x^9 < 5$

1. 問題の内容

次の方程式・不等式を解く問題です。

(1) $10^{2\log_{10}x} = 4$

(2) $\log_{\sqrt{2}}(2-x) + \log_2(x+1) = 1$

(3) $\log_3 x - 3\log_x 3 = 2$

(4) $\log_3 x + 2\log_9(x-6) < 3$

(5) $8(\log_2 \sqrt{x})^2 - 3\log_8 x^9 < 5$

2. 解き方の手順

(1)

両辺の常用対数をとると

$\log_{10} (10^{2\log_{10}x}) = \log_{10} 4$

$2\log_{10}x \cdot \log_{10} 10 = \log_{10} 4$

$2\log_{10}x = \log_{10} 4$

$\log_{10}x = \frac{1}{2}\log_{10} 4 = \log_{10} 4^{\frac{1}{2}} = \log_{10} 2$

したがって、$x = 2$.

(2)

真数条件より、$2-x > 0$ かつ $x+1 > 0$。よって$-1 < x < 2$.

$\log_{\sqrt{2}}(2-x) = \frac{\log_2 (2-x)}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 (2-x)}{\frac{1}{2}} = 2\log_2 (2-x)$.

与式は

$2\log_2 (2-x) + \log_2 (x+1) = 1$

$\log_2 (2-x)^2 + \log_2 (x+1) = 1$

$\log_2 [(2-x)^2(x+1)] = 1$

$(2-x)^2(x+1) = 2^1 = 2$

$(4 - 4x + x^2)(x+1) = 2$

$4x + 4 - 4x^2 - 4x + x^3 + x^2 = 2$

$x^3 - 3x^2 + 2 = 0$

$(x-1)(x^2 - 2x - 2) = 0$

$x = 1$ または $x = \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

$-1 < x < 2$を満たすのは $x = 1$のみ.

(3)

真数条件より、$x > 0$ かつ $x \neq 1$.

$\log_3 x - 3\log_x 3 = 2$

$\log_3 x - \frac{3}{\log_3 x} = 2$

$t = \log_3 x$ とおくと $t - \frac{3}{t} = 2$。

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t-3)(t+1) = 0$

$t = 3$ または $t = -1$.

$t = 3$ のとき、$\log_3 x = 3$ より $x = 3^3 = 27$.

$t = -1$ のとき、$\log_3 x = -1$ より $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

$x > 0$ かつ $x \neq 1$ を満たすので、$x = 27, \frac{1}{3}$.

(4)

真数条件より、$x > 0$ かつ $x-6 > 0$ より $x > 6$.

$\log_3 x + 2\log_9 (x-6) < 3$

$\log_3 x + 2 \frac{\log_3 (x-6)}{\log_3 9} < 3$

$\log_3 x + 2 \frac{\log_3 (x-6)}{2} < 3$

$\log_3 x + \log_3 (x-6) < 3$

$\log_3 x(x-6) < 3$

$x(x-6) < 3^3$

$x^2 - 6x < 27$

$x^2 - 6x - 27 < 0$

$(x-9)(x+3) < 0$

$-3 < x < 9$.

$x > 6$ を満たすので $6 < x < 9$.

(5)

真数条件より $x > 0$.

$8(\log_2 \sqrt{x})^2 - 3\log_8 x^9 < 5$

$8(\log_2 x^{\frac{1}{2}})^2 - 3\log_8 x^9 < 5$

$8(\frac{1}{2}\log_2 x)^2 - 3\log_8 x^9 < 5$

$8(\frac{1}{4}(\log_2 x)^2) - 3 (9 \log_8 x) < 5$

$2(\log_2 x)^2 - 27\frac{\log_2 x}{\log_2 8} < 5$

$2(\log_2 x)^2 - 27 \frac{\log_2 x}{3} < 5$

$2(\log_2 x)^2 - 9\log_2 x - 5 < 0$

$t = \log_2 x$ とおくと $2t^2 - 9t - 5 < 0$

$(2t+1)(t-5) < 0$

$-\frac{1}{2} < t < 5$

$-\frac{1}{2} < \log_2 x < 5$

$2^{-\frac{1}{2}} < x < 2^5$

$\frac{1}{\sqrt{2}} < x < 32$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2$

(2) $x = 1$

(3) $x = 27, \frac{1}{3}$

(4) $6 < x < 9$

(5) $\frac{1}{\sqrt{2}} < x < 32$