与えられた3つの多項式の積 $(x^2 + 2x + 3)(4x^2 + 5x + 6)(7x^2 + 8x + 9)$ において、$x^5$と$x^3$の係数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの多項式の積 $(x^2 + 2x + 3)(4x^2 + 5x + 6)(7x^2 + 8x + 9)$ において、$x^5$と$x^3$の係数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

3つの多項式から項を選び、それらの積が$x^5$となる組み合わせと$x^3$となる組み合わせを考える。

$x^5$の係数を求める場合：

3つの多項式から選んだ項の次数をそれぞれ$a, b, c$とすると、$a+b+c=5$となる組み合わせを探す。各多項式の次数は、2, 1, 0である。

組み合わせは以下の通り：

* 2, 2, 1 : $(x^2)(4x^2)(8x)$ , $(x^2)(5x)(7x^2)$ , $(2x)(4x^2)(7x^2)$

* 2, 1, 2 : $(x^2)(5x)(7x^2)$, $(x^2)(5x)(7x^2)$ , $(x^2)(5x)(7x^2)$

* 1, 2, 2 : $(2x)(4x^2)(7x^2)$ , $(2x)(4x^2)(7x^2)$ , $(2x)(4x^2)(7x^2)$

したがって、$x^5$の係数は

$1 \cdot 4 \cdot 8 + 1 \cdot 5 \cdot 7 + 2 \cdot 4 \cdot 7 = 32 + 35 + 56 = 123$

$x^3$の係数を求める場合：

3つの多項式から選んだ項の次数をそれぞれ$a, b, c$とすると、$a+b+c=3$となる組み合わせを探す。

組み合わせは以下の通り：

* 2, 1, 0 : $(x^2)(5x)(9)$, $(x^2)(6)(8x)$, $(3)(4x^2)(8x)$

* 2, 0, 1 : $(x^2)(6)(8x)$, $(x^2)(6)(8x)$, $(x^2)(6)(8x)$

* 1, 2, 0 : $(2x)(4x^2)(9)$, $(2x)(6)(7x^2)$

* 1, 0, 2 : $(2x)(6)(7x^2)$, $(2x)(6)(7x^2)$

* 0, 2, 1 : $(3)(4x^2)(8x)$, $(3)(5x)(7x^2)$

* 0, 1, 2 : $(3)(5x)(7x^2)$, $(3)(5x)(7x^2)$

* 1, 1, 1: $(2x)(5x)(8x)$

したがって、$x^3$の係数は

$1 \cdot 5 \cdot 9 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 3 \cdot 4 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + 2 \cdot 5 \cdot 8 = 45 + 48 + 96 + 72 + 84 + 105 + 80 = 530$

3. 最終的な答え

$x^5$の係数は123

$x^3$の係数は530