与えられた数式 $\frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$ を簡単にし、分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式 $\frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$ を簡単にし、分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母の $1 + \sqrt{6} + \sqrt{7}$ を $(1+\sqrt{6}) + \sqrt{7}$ とみて、 $(1+\sqrt{6}) - \sqrt{7}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}} = \frac{1}{(1+\sqrt{6})+\sqrt{7}} \cdot \frac{(1+\sqrt{6})-\sqrt{7}}{(1+\sqrt{6})-\sqrt{7}} = \frac{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}}{(1+\sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2}$

次に、分母を計算します。

$(1+\sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2 = (1 + 2\sqrt{6} + 6) - 7 = 7 + 2\sqrt{6} - 7 = 2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}}{2\sqrt{6}}$

さらに分母を有理化するために、$\sqrt{6}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1+\sqrt{6}-\sqrt{7}}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} + 6 - \sqrt{42}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6} + 6 - \sqrt{42}}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{6 + \sqrt{6} - \sqrt{42}}{12}$