与えられた同次連立一次方程式が非自明解を持つかどうかを判定する問題です。非自明解を持つ条件は、係数行列の階数が未知数の数よりも小さいことです。

1. 問題の内容

与えられた同次連立一次方程式が非自明解を持つかどうかを判定する問題です。非自明解を持つ条件は、係数行列の階数が未知数の数よりも小さいことです。

2. 解き方の手順

各連立方程式について、係数行列の階数を求め、未知数の数と比較します。

- 階数が未知数の数より小さい場合、非自明解を持ちます。

- 階数が未知数の数と等しい場合、自明解のみを持ちます。

(1)

連立方程式は $2x_1 + 3x_2 = 0$ と $4x_2 = 0$ です。

この連立方程式の係数行列は

$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

であり、行列式は $2*4 - 3*0 = 8 \neq 0$ なので、階数は2です。未知数の数も2なので、非自明解を持ちません。

(2)

連立方程式は $2x_1 - 3x_2 = 0$ と $4x_1 - 6x_2 = 0$ です。

2番目の式は1番目の式の2倍なので、独立な方程式は1つのみです。

この連立方程式の係数行列は

$\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}$

であり、階数は1です。未知数の数は2なので、非自明解を持ちます。

(3)

連立方程式は $2x_1 - 4x_2 + 4x_3 = 0$ と $3x_1 + 6x_2 - 7x_3 = 0$ です。

この連立方程式の係数行列は

$\begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 3 & 6 & -7 \end{pmatrix}$

であり、階数は2です。未知数の数は3なので、非自明解を持ちます。

(4)

連立方程式は $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$, $4x_2 + 5x_3 = 0$, $6x_3 = 0$ です。

$x_3 = 0$ が得られ、$x_2 = 0$、$x_1 = 0$ が得られます。

この連立方程式の係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

であり、階数は3です。未知数の数は3なので、非自明解を持ちません。

(5)

連立方程式は $x_1 - x_3 = 0$, $-2x_2 + 4x_3 = 0$, $-x_1 + x_2 = 0$ です。

$x_1 = x_3$、$x_2 = 2x_3$、$x_1 = x_2$ なので、$x_3 = 2x_3$。したがって $x_3 = 0$、$x_1 = 0$、$x_2 = 0$ です。

この連立方程式の係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & 4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

であり、行列式は $1*(-2)*0 + 0*4*(-1) + (-1)*0*1 - (-1)*(-2)*(-1) - 1*4*1 - 0*0*0 = 0 + 0 + 0 - 2 - 4 - 0 = -6$ と計算できます。

ここで誤りがありました。正しくは、$x_1 = x_3$、$x_2 = 2x_3$ を $-x_1 + x_2 = 0$ に代入すると、$-x_3 + 2x_3 = 0$ より $x_3 = 0$ が得られます。したがって $x_1 = 0$、$x_2 = 0$ です。

したがって階数は3であり、未知数は3つなので非自明解を持ちません。

(6)

連立方程式は $x_1 + 3x_2 = 0$, $x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$, $-x_1 + x_2 - 4x_3 = 0$ です。

この連立方程式の係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & -4 \end{pmatrix}$

であり、行列式は $1*(2*(-4) - 1*1) - 3*(1*(-4) - 1*(-1)) + 0*(1*1 - 2*(-1)) = 1*(-8 - 1) - 3*(-4 + 1) + 0 = -9 - 3*(-3) = -9 + 9 = 0$ です。したがって階数は3より小さいので、非自明解を持ちます。

(7)

連立方程式は $x_2 + x_3 + x_4 = 0$, $x_1 + x_3 + x_4 = 0$, $x_1 + x_2 + x_4 = 0$, $x_1 + x_2 + x_3 = 0$ です。

$x_1 + x_3 + x_4 - (x_2 + x_3 + x_4) = 0$ より $x_1 - x_2 = 0$ なので $x_1 = x_2$。

$x_1 + x_2 + x_4 - (x_1 + x_2 + x_3) = 0$ より $x_4 - x_3 = 0$ なので $x_3 = x_4$。

$x_2 + x_3 + x_4 = 0$ に $x_1 = x_2$, $x_3 = x_4$ を代入すると、$x_1 + 2x_3 = 0$。

$x_1 = -2x_3$。したがって、$x_1 = x_2$, $x_3 = x_4$, $x_1 = -2x_3$。

$x_3$ を任意の値とすれば、$x_1, x_2, x_4$ が定まります。

この連立方程式の係数行列は

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

であり、行列式は0です。よって非自明解を持ちます。

3. 最終的な答え

非自明解を持つのは、(2), (3), (6), (7) です。