与えられた連立一次方程式を $A\vec{x}=\vec{b}$ の形に表し、係数行列Aの逆行列 $A^{-1}$ を消去法で求め、それを用いて解 $\vec{x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を $A\vec{x}=\vec{b}$ の形に表し、係数行列Aの逆行列 $A^{-1}$ を消去法で求め、それを用いて解 $\vec{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、拡大行列 $(A|I)$ に対して行基本変形を行い、$(I|A^{-1})$ の形に変形します。ここで、$I$ は単位行列です。

初期状態:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 7 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を-3倍して2行目に加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

1行目を-2倍して3行目に加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2行目を2倍して3行目に加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -8 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

3行目を-1倍する:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 8 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

3行目を2行目に加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 8 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

2行目を-2倍して1行目に加える:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -9 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 5 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 8 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} -9 & 2 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 8 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

最後に、$\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ を計算します。

$\vec{x} = \begin{pmatrix} -9 & 2 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 8 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 + 4 + 6 \\ 5 - 2 - 3 \\ 8 - 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -9 & 2 & 2 \\ 5 & -1 & -1 \\ 8 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$