(1) 1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が3回または裏が3回出たところで終了する。表と裏の出方は何通りあるか求めよ。 (2) 108の約数の個数と総和を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 1枚の硬貨を繰り返し投げ、表が3回または裏が3回出たところで終了する。表と裏の出方は何通りあるか求めよ。

(2) 108の約数の個数と総和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

表を〇、裏を×で表す。

表が3回出る場合、最後の1回は必ず表である。したがって、残りの2回の表と高々2回の裏の並び方を考える。

2回の表と0回の裏：〇〇

2回の表と1回の裏：〇×〇, ×〇〇

2回の表と2回の裏：〇××〇, ×〇×〇, ××〇〇

したがって、表が3回で終わる出方は1+2+3=6通り。

裏が3回出る場合も同様に、最後の1回は必ず裏である。したがって、残りの2回の裏と高々2回の表の並び方を考える。

2回の裏と0回の表：××

2回の裏と1回の表：×〇×, 〇××

2回の裏と2回の表：×〇〇×, 〇×〇×, 〇〇××

したがって、裏が3回で終わる出方も1+2+3=6通り。

合計で6 + 6 = 12通り。

(2)

108を素因数分解する。

$108 = 2^2 \times 3^3$

約数の個数は、素因数の指数のそれぞれに1を足して掛け合わせたものである。

約数の個数 = $(2+1)(3+1) = 3 \times 4 = 12$

約数の総和は、各素因数について、0乗からその素因数の指数乗までの和を計算し、それらを掛け合わせたものである。

約数の総和 = $(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3) = (1+2+4)(1+3+9+27) = (7)(40) = 280$

3. 最終的な答え

(1) 12通り

(2) 約数の個数：12個, 約数の総和：280