与えられた5つの式を展開し、$x$について降べきの順に整理します。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた5つの式を展開し、$x$について降べきの順に整理します。

2. 解き方の手順

(1) $(x^3+4-3x)(1-2x)$

まず、式を整理します。

$(x^3-3x+4)(1-2x)$

次に、展開します。

$x^3(1-2x) -3x(1-2x) + 4(1-2x)$

$= x^3 - 2x^4 - 3x + 6x^2 + 4 - 8x$

$= -2x^4 + x^3 + 6x^2 - 11x + 4$

(2) $(x-a)(x-b)(x-c)$

まず、最初の2つの括弧を展開します。

$(x^2 - (a+b)x + ab)(x-c)$

次に、全体を展開します。

$x^2(x-c) - (a+b)x(x-c) + ab(x-c)$

$= x^3 - cx^2 - (a+b)x^2 + (a+b)cx + abx - abc$

$= x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$

(3) $(x^2-x+1)(x^2-x+3)$

$x^2-x = A$とおくと、

$(A+1)(A+3) = A^2 + 4A + 3$

$A$を元に戻すと、

$(x^2-x)^2 + 4(x^2-x) + 3$

$= x^4 - 2x^3 + x^2 + 4x^2 - 4x + 3$

$= x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

(4) $(x+1)(x+2)(x-5)(x-6)$

$(x+1)(x-5) = x^2 - 4x - 5$

$(x+2)(x-6) = x^2 - 4x - 12$

$x^2 - 4x = B$とおくと、

$(B-5)(B-12) = B^2 - 17B + 60$

$B$を元に戻すと、

$(x^2-4x)^2 - 17(x^2-4x) + 60$

$= x^4 - 8x^3 + 16x^2 - 17x^2 + 68x + 60$

$= x^4 - 8x^3 - x^2 + 68x + 60$

(5) $(x-1)(x-2)(x+3)(x+6)$

$(x-1)(x+3) = x^2 + 2x - 3$

$(x-2)(x+6) = x^2 + 4x - 12$

$(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 4x - 12)$

$= x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2x^3 + 8x^2 - 24x - 3x^2 - 12x + 36$

$= x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$

3. 最終的な答え

(1) $-2x^4 + x^3 + 6x^2 - 11x + 4$

(2) $x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$

(3) $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

(4) $x^4 - 8x^3 - x^2 + 68x + 60$

(5) $x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$