与えられた数列の初項から第n項までの和を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列について、それぞれの和を求めます。 (1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$ (2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第n項までの和を求める問題です。具体的には、以下の2つの数列について、それぞれの和を求めます。

(1) $1^2, 3^2, 5^2, \dots$

(2) $1, 1+2, 1+2+2^2, \dots$

2. 解き方の手順

(1)

数列は$1^2, 3^2, 5^2, \dots, (2n-1)^2, \dots$と表せるので、第k項は$(2k-1)^2$である。

求める和を$S_n$とすると、

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)^2$$

展開して、

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k + 1)$$

シグマの性質より、

$$S_n = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$, $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$より、

$$S_n = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n$$

$$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$$

$$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$$

$$S_n = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3}$$

$$S_n = \frac{n[2(2n^2 + 3n + 1) - 6n - 6 + 3]}{3}$$

$$S_n = \frac{n[4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3]}{3}$$

$$S_n = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$$

$$S_n = \frac{n(2n - 1)(2n + 1)}{3}$$

(2)

数列は$1, 1+2, 1+2+2^2, \dots, 1+2+2^2+\dots+2^{n-1}, \dots$と表せるので、第k項は$\sum_{i=0}^{k-1} 2^i = \frac{1-2^k}{1-2} = 2^k - 1$である。

求める和を$S_n$とすると、

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$$

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$$

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - n$$

$\sum_{k=1}^{n} 2^k = \frac{2(1-2^n)}{1-2} - 0 = 2^{n+1} - 2$より、

$$S_n = (2^{n+1} - 2) - n$$

$$S_n = 2^{n+1} - n - 2$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $2^{n+1} - n - 2$