$a$ は正の定数とする。関数 $y = -2x^2 + 8x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、以下の問いに答える。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -2x^2 + 8x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、以下の問いに答える。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最大値

まず、与えられた2次関数 $y = -2x^2 + 8x + 1$ を平方完成する。

$y = -2(x^2 - 4x) + 1$

$y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$

$y = -2((x - 2)^2 - 4) + 1$

$y = -2(x - 2)^2 + 8 + 1$

$y = -2(x - 2)^2 + 9$

このグラフは上に凸であり、頂点は $(2, 9)$ である。定義域は $0 \le x \le a$ である。最大値は、軸 $x = 2$ が定義域に含まれるかどうかで場合分けして考える。

(i) $0 < a \le 2$ のとき、最大値は $x = a$ のときの値 $y = -2a^2 + 8a + 1$ である。

(ii) $a > 2$ のとき、最大値は頂点の $y$ 座標であり、 $y = 9$ である。

(2) 最小値

$y = -2(x - 2)^2 + 9$ のグラフは上に凸であり、軸は $x = 2$ である。定義域は $0 \le x \le a$ である。最小値は、定義域の端点 $x = 0$ または $x = a$ でとる。$x = 0$ のとき $y = -2(0)^2 + 8(0) + 1 = 1$ である。

(i) $0 < a \le 4$ のとき、$x = a$ における $y$ の値を $f(a) = -2a^2+8a+1$ とする。軸$x=2$からの距離を比較して、$a/2 < 2$なら、$x=0$の方が小さい値、$a/2 > 2$なら、$x=a$の方が小さい値となる。つまり、$a<4$の場合、$x=0$における$y$の値1の方が、$x=a$における$y$の値$f(a)$よりも小さくなる。したがって、最小値は1となる。

(ii) $a > 4$ のとき、$x = a$ における $y$ の値を $f(a) = -2a^2+8a+1$ とする。$x=0$における$y$の値1と$x=a$における$y$の値$f(a)$を比較する。$x=a$の方が小さいため、最小値は$f(a)=-2a^2+8a+1$となる。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a \le 2$ のとき、$-2a^2 + 8a + 1$

$a > 2$ のとき、9

(2) 最小値

$0 < a \le 4$ のとき、1

$a > 4$ のとき、$-2a^2 + 8a + 1$