$x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ および $y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ が与えられたとき、以下の2つの式の値を求める問題です。 (7) $x^2 + y^2$ (8) $\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x}$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ および $y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ が与えられたとき、以下の2つの式の値を求める問題です。

(7) $x^2 + y^2$

(8) $\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x}$

2. 解き方の手順

(7) $x^2 + y^2$ の計算

まず、$x$ と $y$ の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

$y = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$

次に、$x^2$ と $y^2$ を計算します。

$x^2 = (2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$

$y^2 = (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$

最後に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (7 + 4\sqrt{3}) + (7 - 4\sqrt{3}) = 14$

(8) $\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x}$ の計算

$\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x} = \frac{x^4 - y^4}{xy}$

$x^4 = (x^2)^2 = (7 + 4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97 + 56\sqrt{3}$

$y^4 = (y^2)^2 = (7 - 4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97 - 56\sqrt{3}$

$x^4 - y^4 = (97 + 56\sqrt{3}) - (97 - 56\sqrt{3}) = 112\sqrt{3}$

$xy = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

$\frac{x^4 - y^4}{xy} = \frac{112\sqrt{3}}{1} = 112\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(7) $x^2 + y^2 = 14$

(8) $\frac{x^3}{y} - \frac{y^3}{x} = 112\sqrt{3}$