3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 2ax - b + 4 = 0$ の2つの解が $1 \pm 2i$ であるとき、残りの解と定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 2ax - b + 4 = 0$ の2つの解が $1 \pm 2i$ であるとき、残りの解と定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

複素数 $1+2i$ が解ならば、共役複素数 $1-2i$ も解である。

3次方程式の解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると、$\alpha = 1 + 2i, \beta = 1 - 2i$ とおくことができる。

残りの解を $\gamma$ とすると、解と係数の関係より

$\alpha + \beta + \gamma = (1 + 2i) + (1 - 2i) + \gamma = 2 + \gamma = 3$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = (1+2i)(1-2i) + (1-2i)\gamma + (1+2i)\gamma = 1 + 4 + 2\gamma = 5 + 2\gamma = 2a$

$\alpha\beta\gamma = (1+2i)(1-2i)\gamma = 5\gamma = -(-b+4) = b-4$

まず、 $2 + \gamma = 3$ より $\gamma = 1$ が求まる。

次に、$5 + 2\gamma = 5 + 2(1) = 7 = 2a$ より $a = \frac{7}{2}$ が求まる。

最後に、$5\gamma = 5(1) = 5 = b - 4$ より $b = 9$ が求まる。

3. 最終的な答え

残りの解: 1

$a = \frac{7}{2}$

$b = 9$