不等式 $4x+1 < 3(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=5$ であるとき、$a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $4x+1 < 3(x+a)$ を満たす最大の整数 $x$ が $x=5$ であるとき、$a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $x$ について解きます。

$4x+1 < 3(x+a)$

$4x+1 < 3x + 3a$

$4x - 3x < 3a - 1$

$x < 3a - 1$

この不等式を満たす最大の整数が $5$ であるということは、$5$ は不等式を満たすけれども、$6$ は不等式を満たさないということになります。

つまり、$x < 3a - 1$ を満たす最大の整数が $5$ であるためには、次の不等式が成り立つ必要があります。

$5 < 3a - 1 \le 6$

この不等式を $a$ について解きます。まず、各辺に $1$ を加えます。

$5 + 1 < 3a - 1 + 1 \le 6 + 1$

$6 < 3a \le 7$

次に、各辺を $3$ で割ります。

$\frac{6}{3} < \frac{3a}{3} \le \frac{7}{3}$

$2 < a \le \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

$2 < a \le \frac{7}{3}$