$x, y, z$ が $x - 2y + z = 4$ と $2x + y - 3z = -7$ を満たすとき、$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が常に成り立つような定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x, y, z$ が $x - 2y + z = 4$ と $2x + y - 3z = -7$ を満たすとき、$ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ が常に成り立つような定数 $a, b, c$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x - 2y + z = 4$ と $2x + y - 3z = -7$ の2つの式から、$x, y, z$ の関係を導きます。

具体的には、$x$ と $y$ を $z$ で表すことを目指します。

1つ目の式から $x = 2y - z + 4$ が得られます。

これを2つ目の式に代入すると、

$2(2y - z + 4) + y - 3z = -7$

$4y - 2z + 8 + y - 3z = -7$

$5y - 5z = -15$

$y = z - 3$

が得られます。

次に、$x = 2y - z + 4$ に $y = z - 3$ を代入します。

$x = 2(z - 3) - z + 4 = 2z - 6 - z + 4 = z - 2$

よって、$x = z - 2$ と $y = z - 3$ が得られます。

これを $ax^2 + 2by^2 + 3cz^2 = 18$ に代入します。

$a(z - 2)^2 + 2b(z - 3)^2 + 3cz^2 = 18$

$a(z^2 - 4z + 4) + 2b(z^2 - 6z + 9) + 3cz^2 = 18$

$(a + 2b + 3c)z^2 + (-4a - 12b)z + (4a + 18b) = 18$

この式が任意の $z$ に対して成り立つためには、$z^2$ と $z$ の係数が0でなければなりません。

つまり、

$a + 2b + 3c = 0$

$-4a - 12b = 0$

$4a + 18b = 18$

という3つの式が成り立ちます。

2つ目の式から $a = -3b$ が得られます。

これを3つ目の式に代入すると、

$4(-3b) + 18b = 18$

$-12b + 18b = 18$

$6b = 18$

$b = 3$

が得られます。

すると、$a = -3b = -3(3) = -9$ です。

最後に、$a = -9$ と $b = 3$ を $a + 2b + 3c = 0$ に代入します。

$-9 + 2(3) + 3c = 0$

$-9 + 6 + 3c = 0$

$-3 + 3c = 0$

$3c = 3$

$c = 1$

が得られます。

3. 最終的な答え

$a = -9, b = 3, c = 1$