次の方程式を解きます。 (1) $(x^2 + x - 1)(x^2 + x - 4) = -2$ (2) $x^3 + 2x^2 - 8x - 21 = 0$。ただし、(2)は複素数の範囲で解を求めます。

1. 問題の内容

次の方程式を解きます。

(1) $(x^2 + x - 1)(x^2 + x - 4) = -2$

(2) $x^3 + 2x^2 - 8x - 21 = 0$。ただし、(2)は複素数の範囲で解を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2+x = t$ とおくと、

$(t-1)(t-4) = -2$

$t^2 - 5t + 4 = -2$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

$(t-2)(t-3) = 0$

$t = 2, 3$

$x^2 + x = 2$ のとき、

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

$x^2 + x = 3$ のとき、

$x^2 + x - 3 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$

(2)

$P(x) = x^3 + 2x^2 - 8x - 21$ とおくと、

$P(3) = 27 + 18 - 24 - 21 = 0$

よって、$P(x)$ は $x-3$ を因数に持つ。

$x^3 + 2x^2 - 8x - 21 = (x-3)(x^2 + 5x + 7) = 0$

$x = 3$ または $x^2 + 5x + 7 = 0$

$x^2 + 5x + 7 = 0$ の解は、

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(7)}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 28}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -2, 1, \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$

(2) $x = 3, \frac{-5 \pm i\sqrt{3}}{2}$