(1) $0 \le \theta < 2\pi$において、$\sin \frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos 2\theta$を求めよ。 (2) $\alpha = \frac{1}{1+2i}$, $\beta = \frac{1+2i}{5}$のとき、$S = \sum_{k=1}^{4} \alpha^k + \sum_{k=1}^{4} \beta^k$を求めよ。ここで、$i$は虚数単位である。 (3) $f(x) = x^2$とする。平面上の2つの直線$l_1, l_2$が $l_1: y = -\frac{x-a}{f'(a)} + a^2$ $l_2: y = -\frac{x+a}{f'(-a)} + a^2$ と定義されている。$l_1$と$l_2$の交点Pのy座標が1に等しくなるときの$a$を求めよ。ただし、$a>0$とする。

1. 問題の内容

(1) $0 \le \theta < 2\pi$において、$\sin \frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos 2\theta$を求めよ。

(2) $\alpha = \frac{1}{1+2i}$, $\beta = \frac{1+2i}{5}$のとき、$S = \sum_{k=1}^{4} \alpha^k + \sum_{k=1}^{4} \beta^k$を求めよ。ここで、$i$は虚数単位である。

(3) $f(x) = x^2$とする。平面上の2つの直線$l_1, l_2$が

$l_1: y = -\frac{x-a}{f'(a)} + a^2$

$l_2: y = -\frac{x+a}{f'(-a)} + a^2$

と定義されている。$l_1$と$l_2$の交点Pのy座標が1に等しくなるときの$a$を求めよ。ただし、$a>0$とする。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \frac{2}{3}\theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos 2\theta$を求める。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$という公式を使うことを考えたい。しかし、与えられているのは$\sin \frac{2}{3}\theta$なので、これを$\sin \theta$の形に変換する必要がある。$\frac{2}{3}\theta$を$\alpha$と置くと、$\sin \alpha = \frac{1}{4}$となる。

$\cos 2\theta = \cos (3\alpha) = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$である。

$\cos \alpha = \pm \sqrt{1-\sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1-\frac{1}{16}} = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$である。

したがって、$\cos 2\theta = 4(\pm \frac{\sqrt{15}}{4})^3 - 3(\pm \frac{\sqrt{15}}{4}) = \pm (4\frac{15\sqrt{15}}{64} - \frac{3\sqrt{15}}{4}) = \pm (\frac{15\sqrt{15}}{16} - \frac{12\sqrt{15}}{16}) = \pm \frac{3\sqrt{15}}{16}$

ただし、$0 \le \theta < 2\pi$より、$0 \le \frac{2}{3}\theta < \frac{4\pi}{3}$となる。よって、$0 \le \alpha < \frac{4\pi}{3}$なので、$\sin \alpha = \frac{1}{4}$となる範囲では、$\alpha$は第一象限と第二象限に存在する。したがって、$\cos \alpha$は正負両方を取りうる。$\cos 2\theta$は$\pm \frac{3\sqrt{15}}{16}$の可能性がある。

(2) $S = \sum_{k=1}^{4} \alpha^k + \sum_{k=1}^{4} \beta^k$を求める。

まず$\alpha$を計算する。$\alpha = \frac{1}{1+2i} = \frac{1-2i}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{1-2i}{1+4} = \frac{1-2i}{5}$

$\sum_{k=1}^{4} \alpha^k$は等比数列の和なので、$\sum_{k=1}^{4} \alpha^k = \frac{\alpha(1-\alpha^4)}{1-\alpha}$

同様に、$\sum_{k=1}^{4} \beta^k = \frac{\beta(1-\beta^4)}{1-\beta}$

$\alpha = \frac{1-2i}{5}$, $\beta = \frac{1+2i}{5}$

$\sum_{k=1}^{4} \alpha^k = \frac{\frac{1-2i}{5}(1-(\frac{1-2i}{5})^4)}{1-\frac{1-2i}{5}} = \frac{\frac{1-2i}{5}(1-(\frac{1-2i}{5})^4)}{\frac{4+2i}{5}} = \frac{(1-2i)(1-(\frac{1-2i}{5})^4)}{4+2i}$

$\sum_{k=1}^{4} \beta^k = \frac{\frac{1+2i}{5}(1-(\frac{1+2i}{5})^4)}{1-\frac{1+2i}{5}} = \frac{\frac{1+2i}{5}(1-(\frac{1+2i}{5})^4)}{\frac{4-2i}{5}} = \frac{(1+2i)(1-(\frac{1+2i}{5})^4)}{4-2i}$

$(\frac{1-2i}{5})^2 = \frac{1-4i-4}{25} = \frac{-3-4i}{25}$

$(\frac{1-2i}{5})^4 = (\frac{-3-4i}{25})^2 = \frac{9+24i-16}{625} = \frac{-7+24i}{625}$

$(\frac{1+2i}{5})^2 = \frac{1+4i-4}{25} = \frac{-3+4i}{25}$

$(\frac{1+2i}{5})^4 = (\frac{-3+4i}{25})^2 = \frac{9-24i-16}{625} = \frac{-7-24i}{625}$

$\sum_{k=1}^{4} \alpha^k = \frac{(1-2i)(1-\frac{-7+24i}{625})}{4+2i} = \frac{(1-2i)(\frac{632-24i}{625})}{4+2i} = \frac{632-24i - 1264i - 48}{625(4+2i)} = \frac{584-1288i}{625(4+2i)}$

$\sum_{k=1}^{4} \beta^k = \frac{(1+2i)(1-\frac{-7-24i}{625})}{4-2i} = \frac{(1+2i)(\frac{632+24i}{625})}{4-2i} = \frac{632+24i + 1264i - 48}{625(4-2i)} = \frac{584+1288i}{625(4-2i)}$

$S = \frac{584-1288i}{625(4+2i)} + \frac{584+1288i}{625(4-2i)} = \frac{(584-1288i)(4-2i) + (584+1288i)(4+2i)}{625(16+4)} = \frac{2(584\cdot 4 - 1288 \cdot 2)}{625 \cdot 20} = \frac{2336-2576}{6250} = \frac{-240}{6250} = \frac{-24}{625} = -\frac{24}{625}$

(3) $f(x)=x^2$より、$f'(x) = 2x$となる。

$l_1: y = -\frac{x-a}{2a} + a^2$

$l_2: y = -\frac{x+a}{-2a} + a^2 = \frac{x+a}{2a} + a^2$

交点Pの座標を$(x_p, y_p)$とすると、$y_p=1$なので、

$1 = -\frac{x_p-a}{2a} + a^2$

$1 = \frac{x_p+a}{2a} + a^2$

$-\frac{x_p-a}{2a} = \frac{x_p+a}{2a}$

$-x_p + a = x_p + a$

$-x_p = x_p$

$x_p = 0$

$1 = -\frac{0-a}{2a} + a^2$

$1 = \frac{1}{2} + a^2$

$a^2 = \frac{1}{2}$

$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$a>0$より、$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\theta = \pm \frac{3\sqrt{15}}{16}$

(2) $S = -\frac{24}{625}$

(3) $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$