複素数 $z$ に関する次の3つの等式を満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答えます。 (1) $|z|=2$ (2) $|z-i|=1$ (3) $|z-1-i|=2$

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する次の3つの等式を満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答えます。

(1) $|z|=2$

(2) $|z-i|=1$

(3) $|z-1-i|=2$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $z=x+yi$ ($x,y$は実数) と表します。

(1) $|z|=2$ は $|x+yi|=2$ となります。

$|x+yi| = \sqrt{x^2 + y^2}$ なので、$\sqrt{x^2 + y^2} = 2$ となり、両辺を2乗すると

$x^2 + y^2 = 4 = 2^2$

これは原点 $(0,0)$ を中心とする半径2の円を表します。

(2) $|z-i|=1$ は $|x+yi-i|=1$ となります。

$|x+(y-1)i|=1$ となり、$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 1$ です。

両辺を2乗すると

$x^2 + (y-1)^2 = 1$

これは点 $(0,1)$ を中心とする半径1の円を表します。

(3) $|z-1-i|=2$ は $|x+yi-1-i|=2$ となります。

$|(x-1)+(y-1)i|=2$ となり、$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = 2$ です。

両辺を2乗すると

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 4 = 2^2$

これは点 $(1,1)$ を中心とする半径2の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 原点 $(0,0)$ を中心とする半径2の円

(2) 点 $(0,1)$ を中心とする半径1の円

(3) 点 $(1,1)$ を中心とする半径2の円