(1) 3次方程式 $x^3 = 1$ を解き、1の3乗根のうち実数であるものを求め、虚数の1つを $\omega$ とするとき、$\omega^3$ と $\omega^2 + \omega + 1$ の値を求める。 (2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - 1$ を $x-2$ で割った余りが -5 であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 3次方程式 $x^3 = 1$ を解き、1の3乗根のうち実数であるものを求め、虚数の1つを $\omega$ とするとき、$\omega^3$ と $\omega^2 + \omega + 1$ の値を求める。

(2) 多項式 $P(x) = x^3 + ax^2 - 1$ を $x-2$ で割った余りが -5 であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 = 1$ を解く。

$x^3 - 1 = 0$ と変形し、因数分解すると $(x-1)(x^2 + x + 1) = 0$。

したがって、$x = 1$ または $x^2 + x + 1 = 0$。

$x^2 + x + 1 = 0$ を解の公式で解くと、

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$。

よって、$x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$。

1の3乗根のうち実数であるものは 1。

1の3乗根のうち、虚数であるものの1つを $\omega$ とすると、$\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ または $\omega = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$。

$\omega^3 = 1$。

$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解であるから、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$。

(2) $P(x) = x^3 + ax^2 - 1$ を $x-2$ で割った余りが -5 であるから、剰余の定理より $P(2) = -5$。

$P(2) = 2^3 + a(2^2) - 1 = 8 + 4a - 1 = 4a + 7$。

したがって、$4a + 7 = -5$。

$4a = -12$。

$a = -3$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 1, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

1の3乗根のうち、実数であるものは 1。

$\omega^3 = 1$ であり、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

(2) $a = -3$