問題は、$0 < x < 1$ (条件①) と $|x-a| < 2$ (条件②) が与えられたとき、以下の2つの場合に実数 $a$ の値の範囲を求めるものです。 (1) 条件①を満たすどのような $x$ についても条件②が満たされるとき。 (2) 条件①を満たすある $x$ について条件②が満たされるとき。

1. 問題の内容

問題は、$0 < x < 1$ (条件①) と $|x-a| < 2$ (条件②) が与えられたとき、以下の2つの場合に実数 $a$ の値の範囲を求めるものです。

(1) 条件①を満たすどのような $x$ についても条件②が満たされるとき。

(2) 条件①を満たすある $x$ について条件②が満たされるとき。

2. 解き方の手順

(1) 条件①を満たすどのような $x$ についても条件②が満たされるとき

条件①は $0 < x < 1$ です。条件②は $|x-a| < 2$ であり、これは $-2 < x-a < 2$ と同値です。したがって、$a-2 < x < a+2$ となります。

条件①を満たすすべての $x$ が条件②を満たすということは、区間 $(0, 1)$ が区間 $(a-2, a+2)$ に含まれるということです。つまり、

$a-2 \le 0$ かつ $a+2 \ge 1$

が成り立ちます。

$a \le 2$ かつ $a \ge -1$

したがって、$-1 \le a \le 2$ となります。

(2) 条件①を満たすある $x$ について条件②が満たされるとき

条件①を満たす $x$ は $0 < x < 1$ です。条件②は $|x-a| < 2$ であり、$a-2 < x < a+2$ と同値です。

条件①を満たすある $x$ について条件②が満たされるということは、区間 $(0, 1)$ と区間 $(a-2, a+2)$ が共通部分を持つということです。つまり、

$a-2 < 1$ かつ $a+2 > 0$

が成り立ちます。

$a < 3$ かつ $a > -2$

したがって、$-2 < a < 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 条件①を満たすどのような $x$ についても条件②が満たされるとき、$a$ の値の範囲は $-1 \le a \le 2$ です。

(2) 条件①を満たすある $x$ について条件②が満たされるとき、$a$ の値の範囲は $-2 < a < 3$ です。