不等式 $a^2 + 3b^2 \geq 3ab$ を証明し、等号が成立する条件を求める問題です。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 3b^2 \geq 3ab$ を証明し、等号が成立する条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

不等式の証明には、一般的に以下の方法が考えられます。

* 差をとって、それが0以上であることを示す。

* 平方完成を利用する。

* 相加平均・相乗平均の関係を利用する。

ここでは、平方完成を利用して証明します。

まず、$a^2 + 3b^2 \geq 3ab$ を変形します。

$a^2 - 3ab + 3b^2 \geq 0$

次に、左辺を平方完成します。

$a^2 - 3ab + \frac{9}{4}b^2 + 3b^2 - \frac{9}{4}b^2 \geq 0$

$(a - \frac{3}{2}b)^2 + \frac{12}{4}b^2 - \frac{9}{4}b^2 \geq 0$

$(a - \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 \geq 0$

ここで、$(a - \frac{3}{2}b)^2 \geq 0$ であり、$\frac{3}{4}b^2 \geq 0$ であるため、

$(a - \frac{3}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2 \geq 0$ が成立します。

したがって、$a^2 + 3b^2 \geq 3ab$ は証明されました。

等号が成立するのは、

$a - \frac{3}{2}b = 0$ かつ $b = 0$ のときです。

よって、$a = \frac{3}{2}b = 0$ となり、$a=0$ かつ $b=0$ のときに等号が成立します。

3. 最終的な答え

不等式 $a^2 + 3b^2 \geq 3ab$ は証明された。

等号が成立するのは、$a = 0$ かつ $b = 0$ のときである。