連立不等式 $\begin{cases} 7x - 5 > 13 - 2x \\ x + a \geq 3x + 5 \end{cases}$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

7x - 5 > 13 - 2x \\

x + a \geq 3x + 5

\end{cases}$

を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

(1) $7x - 5 > 13 - 2x$

$9x > 18$

$x > 2$

(2) $x + a \geq 3x + 5$

$a - 5 \geq 2x$

$x \leq \frac{a-5}{2}$

したがって、連立不等式の解は $2 < x \leq \frac{a-5}{2}$ となる。

この範囲に整数 $x$ がちょうど5個存在するためには、整数 $x$ は $3, 4, 5, 6, 7$ である必要がある。したがって、

$7 \leq \frac{a-5}{2} < 8$ が成り立つ。

この不等式を解く。

$14 \leq a - 5 < 16$

$19 \leq a < 21$

3. 最終的な答え

$19 \leq a < 21$