問題は、数列に関する穴埋め問題と、数列の一般項や初項、公差などを求める問題、そして数列における$x$の値を求める問題の3つから構成されています。

1. 問題の内容

問題は、数列に関する穴埋め問題と、数列の一般項や初項、公差などを求める問題、そして数列における$x$の値を求める問題の3つから構成されています。

2. 解き方の手順

**1.【20】I**

(1)

* $a_n = 3n - 1$

* $a_{10} = 3 * 10 - 1 = 29$

* $3n - 1 = 194$を解くと$n = 65$

* 公差は$3$

* $b_n = \frac{a_n + 1}{2} = \frac{3n - 1 + 1}{2} = \frac{3n}{2}$

* $b_{10} = \frac{3 * 10}{2} = 15$

(2)

* ① 初項$2$, 公差$3$の等差数列

* $a_n = 2 + (n-1) * 3 = 3n - 1$

* ② 初項$13$, 公差$-3$の等差数列

* $a_n = 13 + (n - 1) * (-3) = -3n + 16$

* ③ $2, 4, 6, 8, ...$ に符号を交互につける

* $a_n = (-1)^n * 2n$

* ④ 初項$1$, 公比$-3$の等比数列

* $a_n = 1 * (-3)^{n-1} = (-3)^{n-1}$

* ⑤ 初項$-3$, 公比$\frac{1}{2}$の等比数列

* $a_n = -3 * (\frac{1}{2})^{n-1}$

* ⑥ 等比数列 $2, 2\sqrt{3}, 6, 6\sqrt{3}, ...$

* 公比 $r = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

* $a_n = 2 * (\sqrt{3})^{n-1}$

**2.【24】I**

(1) 第10項が25, 第35項が75である等差数列

* $a + 9d = 25$

* $a + 34d = 75$

* $25d = 50$

* $d = 2$

* $a = 25 - 9*2 = 7$

(2) 第4項が3, 第6項が27である等比数列

* $ar^3 = 3$

* $ar^5 = 27$

* $r^2 = 9$

* $r = 3$ (または$r = -3$)

* $a = \frac{3}{3^3} = \frac{1}{9}$

(3) 第10項が15で、初項から第20項までの和が320

* $a + 9d = 15$

* $S_{20} = \frac{20}{2} * (2a + 19d) = 320$

* $10(2a + 19d) = 320$

* $2a + 19d = 32$

* $2(15 - 9d) + 19d = 32$

* $30 - 18d + 19d = 32$

* $d = 2$

* $a = 15 - 9 * 2 = -3$

(4) 公比が2, 第10項が4096の等比数列

* $ar^9 = 4096$

* $a * 2^9 = 4096$

* $a = \frac{4096}{512} = 8$

* $a_n = 8 * 2^{n-1} = 2^3 * 2^{n-1} = 2^{n+2}$

(5) 初項から第3項までの和が7, 第3項から第5項までの和が28

* $a + ar + ar^2 = 7$

* $ar^2 + ar^3 + ar^4 = 28$

* $r^2(a + ar + ar^2) = 28$

* $7r^2 = 28$

* $r^2 = 4$

* $r = 2$ (または$r = -2$)

* $a(1 + 2 + 4) = 7$

* $7a = 7$

* $a = 1$

(6) 第2項が3, 初項から第3項までの和が13である等比数列

* $ar = 3$

* $a + ar + ar^2 = 13$

* $a + 3 + 3r = 13$

* $a + 3r = 10$

* $a = 10 - 3r$

* $(10 - 3r)r = 3$

* $10r - 3r^2 = 3$

* $3r^2 - 10r + 3 = 0$

* $(3r - 1)(r - 3) = 0$

* $r = \frac{1}{3}$ または $r = 3$

* $r = \frac{1}{3}$ のとき $a = 10 - 3 * \frac{1}{3} = 9$

* $r = 3$ のとき $a = 10 - 3 * 3 = 1$

**3.【12】I**

(1) $3, x, 11, ...$ (等差数列)

* $x = \frac{3 + 11}{2} = 7$

(2) $\frac{1}{9}, \frac{1}{x}, \frac{1}{18}, ...$ (等差数列)

* $\frac{1}{x} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{1}{18}}{2} = \frac{\frac{3}{18}}{2} = \frac{1}{12}$

* $x = 12$

(3) $2, x, 32, ...$ (等比数列)

* $x^2 = 2 * 32 = 64$

* $x = 8$ (または $x = -8$)

(4) $1, x, x+2, ...$ (等比数列)

* $\frac{x}{1} = \frac{x+2}{x}$

* $x^2 = x + 2$

* $x^2 - x - 2 = 0$

* $(x - 2)(x + 1) = 0$

* $x = 2$ または $x = -1$

3. 最終的な答え

**1.【20】I**

(1) $a_{10} = 29$, 第 65 項, 公差 3, $b_{10} = 15$

(2)

* ① $a_n = 3n - 1$

* ② $a_n = -3n + 16$

* ③ $a_n = (-1)^n * 2n$

* ④ $a_n = (-3)^{n-1}$

* ⑤ $a_n = -3 * (\frac{1}{2})^{n-1}$

* ⑥ $a_n = 2 * (\sqrt{3})^{n-1}$

**2.【24】I**

(1) 初項$7$, 公差$2$

(2) 初項$\frac{1}{9}$, 公比$3$

(3) 初項$-3$, 公差$2$

(4) 初項$8$, 一般項$a_n = 2^{n+2}$

(5) 初項$1$, 公比$2$

(6) 初項$9$, 公比$\frac{1}{3}$

**3.【12】I**

(1) $x = 7$

(2) $x = 12$

(3) $x = 8$ (または $x = -8$)

(4) $x = 2$ または $x = -1$