x, y は実数とする。以下の条件について、必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどちらでもないかを判断する問題です。 (1) $xy = 0$ は $x = 0$ であるための？ (2) $xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための？ (3) $xy > 1$ は $x > 1$ であるための？ (4) $\triangle ABC$ の3辺が等しいことは、$\triangle ABC$ の3つの角が等しいための？

1. 問題の内容

x, y は実数とする。以下の条件について、必要条件、十分条件、必要十分条件、またはどちらでもないかを判断する問題です。

(1) $xy = 0$ は $x = 0$ であるための？

(2) $xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための？

(3) $xy > 1$ は $x > 1$ であるための？

(4) $\triangle ABC$ の3辺が等しいことは、$\triangle ABC$ の3つの角が等しいための？

2. 解き方の手順

(1) $xy = 0$ は $x = 0$ であるための？

$xy = 0$ ならば $x = 0$ または $y = 0$ です。したがって、$x = 0$ が成り立ちますが、$x = 0$ から $xy = 0$ が成り立つのは明らかです。

必要条件: $x=0$ ならば $xy=0$ は正しい。

十分条件: $xy=0$ ならば $x=0$ は $y=0$ の可能性があるので正しくない。

ゆえに、$xy = 0$ は $x = 0$ であるための必要条件であるが十分条件ではない。

(2) $xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための？

$xy \neq 0$ ならば $x \neq 0$ かつ $y \neq 0$ です。したがって、$x \neq 0$ が成り立ちます。しかし、$x \neq 0$ から $xy \neq 0$ が成り立つとは限りません（$y = 0$ の場合を考えれば明らかです）。

必要条件: $x\neq 0$ から $xy\neq 0$ は正しくない。

十分条件: $xy\neq 0$ ならば $x\neq 0$ は正しい。

ゆえに、$xy \neq 0$ は $x \neq 0$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。

(3) $xy > 1$ は $x > 1$ であるための？

$xy > 1$ ならば $x > 1$ とは限りません。例えば、$x = -2$, $y = -1$ ならば $xy = 2 > 1$ ですが、$x = -2 < 1$ です。また、$x = 0.5$, $y = 3$ ならば $xy = 1.5 > 1$ ですが、$x = 0.5 < 1$ です。

$x > 1$ ならば $xy > 1$ とも限りません。例えば、$x = 2$, $y = 0.5$ ならば $x > 1$ ですが、$xy = 1 \not{>} 1$ です。

必要条件でも十分条件でもない。

(4) $\triangle ABC$ の3辺が等しいことは、$\triangle ABC$ の3つの角が等しいための？

$\triangle ABC$ の3辺が等しい（正三角形）ならば、$\triangle ABC$ の3つの角はすべて等しい（60度）。

逆に、$\triangle ABC$ の3つの角が等しいならば、$\triangle ABC$ の3辺はすべて等しい（正三角形）。

したがって、必要十分条件である。

3. 最終的な答え

(1) (イ)

(2) (ウ)

(3) (エ)

(4) (ア)