ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表された式 $\frac{1}{3}(\vec{a} + 5\vec{b}) - \frac{1}{4}(\vec{a} - 3\vec{b})$ を簡略化する問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表された式 $\frac{1}{3}(\vec{a} + 5\vec{b}) - \frac{1}{4}(\vec{a} - 3\vec{b})$ を簡略化する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ について整理します。

まず、式を展開します。

$\frac{1}{3}(\vec{a} + 5\vec{b}) - \frac{1}{4}(\vec{a} - 3\vec{b}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{5}{3}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$

次に、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ についてまとめます。

$\vec{a}$ の項は $\frac{1}{3}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{a} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})\vec{a} = (\frac{4}{12} - \frac{3}{12})\vec{a} = \frac{1}{12}\vec{a}$

$\vec{b}$ の項は $\frac{5}{3}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{b} = (\frac{5}{3} + \frac{3}{4})\vec{b} = (\frac{20}{12} + \frac{9}{12})\vec{b} = \frac{29}{12}\vec{b}$

したがって、与えられた式は次のように簡略化されます。

$\frac{1}{12}\vec{a} + \frac{29}{12}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{12}\vec{a} + \frac{29}{12}\vec{b}$