関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($a \le x \le a+1$) について、最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 4x + 1$ ($a \le x \le a+1$) について、最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 1 = (x-2)^2 - 3$

この関数の軸は $x = 2$ です。定義域が $a \le x \le a+1$ であるため、$a$ の値によって最大値を取る $x$ の値が変わります。

(i) $a+1 < 2$ つまり $a < 1$ のとき、定義域の中で $x=a$ で最大値を取ります。

最大値は $f(a) = a^2 - 4a + 1$ となります。

(ii) $a > 2$ のとき、定義域の中で $x=a+1$ で最大値を取ります。

最大値は $f(a+1) = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 1 = a^2 - 2a - 2$ となります。

(iii) $a \le 2 \le a+1$ つまり $1 \le a \le 2$ のとき、軸 $x=2$ が定義域に含まれるため、$x=a$ または $x=a+1$ のどちらかで最大値をとります。

$x=a$のとき、$f(a)=a^2-4a+1$。

$x=a+1$のとき、$f(a+1)=a^2-2a-2$。

$f(a) - f(a+1) = (a^2 - 4a + 1) - (a^2 - 2a - 2) = -2a + 3$

$-2a + 3 > 0$ のとき $a < \frac{3}{2}$ であり、 $f(a) > f(a+1)$。

$-2a + 3 < 0$ のとき $a > \frac{3}{2}$ であり、 $f(a) < f(a+1)$。

したがって、$1 \le a \le \frac{3}{2}$ のとき最大値は $f(a)=a^2-4a+1$。

$\frac{3}{2} \le a \le 2$ のとき最大値は $f(a+1) = a^2-2a-2$。

まとめると、

$a < 1$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

$1 \le a \le \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

$\frac{3}{2} \le a \le 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$

$a > 2$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$

したがって、

$a < \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

$a \ge \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$

3. 最終的な答え

$a < \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $a^2 - 4a + 1$

$a \ge \frac{3}{2}$ のとき、最大値は $a^2 - 2a - 2$