次の式を簡単にせよ。 $\frac{\sqrt{6}+4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

## (3) の問題

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

$\frac{\sqrt{6}+4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

まず、左側の分数の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{6}+4}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6}+4)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{12}+4\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}{2} = \sqrt{3}+2\sqrt{2}$

次に、右側の分数の分母を有理化します。

$\frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$

したがって、

$\frac{\sqrt{6}+4}{\sqrt{2}} - \frac{1}{2-\sqrt{3}} = (\sqrt{3}+2\sqrt{2}) - (2+\sqrt{3}) = \sqrt{3}+2\sqrt{2}-2-\sqrt{3} = 2\sqrt{2}-2$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2}-2$

## (4) の問題

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

$\frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{6}+3}$

2. 解き方の手順

まず、分母を整理するために、$\sqrt{3}$でくくると、

$\frac{4}{\sqrt{3}(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{6}+3}$

分母を有理化するために、$(\sqrt{3}+\sqrt{6}+3)(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3) = (\sqrt{3}+3)^2 - (\sqrt{6})^2 = 3 + 6\sqrt{3} + 9 - 6 = 6 + 6\sqrt{3} = 6(1+\sqrt{3})$

よって、分子も$\sqrt{3}-\sqrt{6}+3$をかけて、

$\frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{6(1+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)}{3(1+\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{6}+3)(1-\sqrt{3})}{3(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{3}-3-\sqrt{6}+\sqrt{18}+3-3\sqrt{3})}{3(1-3)} = \frac{2(-2\sqrt{3}-\sqrt{6}+3\sqrt{2})}{-6} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{3}$

## (5) の問題

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

$\sqrt{13-4\sqrt{10}}$

2. 解き方の手順

$\sqrt{13-4\sqrt{10}} = \sqrt{13-2\sqrt{40}}$

$a+b=13, ab=40$となる$a,b$を見つける.

$a=8,b=5$とすると

$\sqrt{13-4\sqrt{10}}=\sqrt{(\sqrt{8}-\sqrt{5})^2} = \sqrt{8}-\sqrt{5} = 2\sqrt{2} - \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - \sqrt{5}$

## (6) の問題

1. 問題の内容

次の式を簡単にせよ。

$\sqrt{4+\sqrt{15}}$

2. 解き方の手順

$\sqrt{4+\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8+2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{8+2\sqrt{15}}}{\sqrt{2}}$

$a+b=8, ab=15$となる$a,b$を見つける.

$a=5,b=3$とすると

$\sqrt{8+2\sqrt{15}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$

$\sqrt{4+\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$