$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求めなさい。 (ア) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (イ) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ のとき、以下の式の値を求めなさい。

(ア) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(イ) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(ア) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ を求める。

与えられた式 $x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ の両辺を2乗する。

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5})^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(イ) $x^4 + \frac{1}{x^4}$ を求める。

(ア)で求めた $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$ の両辺を2乗する。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 3^2$

$(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + (\frac{1}{x^2})^2 = 9$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 9$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 9 - 2$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 7$

3. 最終的な答え

(ア) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

(イ) $x^4 + \frac{1}{x^4} = 7$