与えられた分数の式を計算し、簡単化する問題です。分数は $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の式を計算し、簡単化する問題です。分数は $\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行います。まず、分母と分子に $(1+\sqrt{3}) - \sqrt{2}$ を掛けます。

$$\frac{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{(1+\sqrt{3}) - \sqrt{2}}{(1+\sqrt{3}) + \sqrt{2}}$$

$$\frac{(1+\sqrt{3}) - \sqrt{2}}{(1+\sqrt{3}) + \sqrt{2}} \cdot \frac{(1+\sqrt{3}) - \sqrt{2}}{(1+\sqrt{3}) - \sqrt{2}} = \frac{((1+\sqrt{3}) - \sqrt{2})^2}{((1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2)}$$

分子を展開します。

$((1+\sqrt{3}) - \sqrt{2})^2 = (1+\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2}(1+\sqrt{3}) + 2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2 = 6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$

分母を展開します。

$(1+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 = 2 + 2\sqrt{3}$

したがって、

$$\frac{6 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{6}}{2 + 2\sqrt{3}} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$$

再度、分母の有理化を行います。分母と分子に $(1-\sqrt{3})$ を掛けます。

$$\frac{(3 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{6})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{3 + \sqrt{3} - \sqrt{2} - \sqrt{6} - 3\sqrt{3} - 3 + \sqrt{6} + \sqrt{18}}{1 - 3}$$

$$= \frac{-2\sqrt{3} - \sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{-2} = \frac{-2\sqrt{3} + 2\sqrt{2}}{-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$