関数 $y = -x^2 + 6x + c$ (定義域 $1 \le x \le 4$) の最小値が $-2$ であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 6x + c$ (定義域 $1 \le x \le 4$) の最小値が $-2$ であるとき、定数 $c$ の値を求め、そのときの最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 6x + c = -(x^2 - 6x) + c = -(x^2 - 6x + 9 - 9) + c = -(x - 3)^2 + 9 + c$

よって、この関数の頂点の座標は $(3, 9+c)$ である。

定義域 $1 \le x \le 4$ におけるこの関数のグラフは、上に凸な放物線の一部である。

軸 $x = 3$ は定義域に含まれる。

最小値が $-2$ となるケースを考える。

(i) $x = 1$ で最小値をとる場合:

$y(1) = -1^2 + 6(1) + c = -1 + 6 + c = 5 + c = -2$

$c = -7$

このとき、最大値は $x = 3$ でとり、

$y(3) = -(3-3)^2 + 9 + (-7) = 9 - 7 = 2$

(ii) $x = 4$ で最小値をとる場合:

$y(4) = -4^2 + 6(4) + c = -16 + 24 + c = 8 + c = -2$

$c = -10$

このとき、最大値は $x = 3$ でとり、

$y(3) = -(3-3)^2 + 9 + (-10) = 9 - 10 = -1$

どちらの場合も定義域内で最小値が $-2$ となる。

c = -7 のとき、y(1) = -2, y(3) = 2, y(4) = -16+24-7 = 1

c = -10 のとき、y(1) = -5, y(3) = -1, y(4) = -2

$1 \le x \le 4$において、関数 $y = -x^2 + 6x + c$ は、軸が $x=3$ にあり、上に凸の放物線である。

最小値が$-2$となるのは、$x=1$または$x=4$のときである。

(i) $x=1$で最小値をとるとき

$y(1) = -1 + 6 + c = 5 + c = -2$より$c = -7$

このとき、$y = -x^2 + 6x - 7$

頂点は$(3, 2)$なので、最大値は$2$

(ii) $x=4$で最小値をとるとき

$y(4) = -16 + 24 + c = 8 + c = -2$より$c = -10$

このとき、$y = -x^2 + 6x - 10$

頂点は$(3, -1)$なので、最大値は$-1$

$c = -7$ のとき、最大値は

2. $c = -10$ のとき、最大値は -

1.

3. 最終的な答え

$c = -7$, 最大値は $2$

または

$c = -10$, 最大値は $-1$