問題は、絶対値記号を含む方程式と不等式を解くことです。 (1) $|x-3|=2x$ (2) $|x-4| \le 2x+1$ (3) $|x+1|>5x$

1. 問題の内容

問題は、絶対値記号を含む方程式と不等式を解くことです。

(1) $|x-3|=2x$

(2) $|x-4| \le 2x+1$

(3) $|x+1|>5x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-3|=2x$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x-3 \ge 0$ つまり $x \ge 3$ のとき、 $x-3=2x$ となるので、$x = -3$。しかし、$x \ge 3$ を満たさないので、解なし。

(ii) $x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき、$-(x-3)=2x$ となるので、$-x+3=2x$。よって、$3x=3$ より $x=1$。これは $x < 3$ を満たす。

また、$2x \ge 0$である必要があるので、$x \ge 0$を満たす必要がある。

(2) $|x-4| \le 2x+1$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 4$ のとき、$x-4 \le 2x+1$。よって、$x \ge -5$。$x \ge 4$との共通範囲は $x \ge 4$。

また、$2x+1 \ge 0$である必要があるので、$x \ge -1/2$を満たす必要がある。

(ii) $x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき、$-(x-4) \le 2x+1$。よって、$-x+4 \le 2x+1$。$3x \ge 3$ より $x \ge 1$。$x < 4$との共通範囲は $1 \le x < 4$。

また、$2x+1 \ge 0$である必要があるので、$x \ge -1/2$を満たす必要がある。

(3) $|x+1|>5x$

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき、$x+1 > 5x$。よって、$4x < 1$ より $x < 1/4$。$x \ge -1$ との共通範囲は $-1 \le x < 1/4$。

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき、$-(x+1) > 5x$。よって、$-x-1 > 5x$。$6x < -1$ より $x < -1/6$。$x < -1$ との共通範囲は $x < -1$。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < 1/4$