次の計算問題を解きます。 $\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{20}} - \frac{1}{\sqrt{45}}$

## 問題1 (5)

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{20}} - \frac{1}{\sqrt{45}}$

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を簡単にします。

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$

与式は次のようになります。

$\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2\sqrt{5}} - \frac{1}{3\sqrt{5}}$

次に、分母を$\sqrt{5}$でそろえるために、各項を$\sqrt{5}$で有理化します。しかし今回は、分母がすでに$\sqrt{5}$を含む形になっているため、そのまま計算します。

$\frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2\sqrt{5}} - \frac{1}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{6\sqrt{5}} - \frac{3}{6\sqrt{5}} - \frac{2}{6\sqrt{5}} = \frac{6-3-2}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{6\sqrt{5}}$

最後に、分母を有理化します。

$\frac{1}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{6\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{6 \times 5} = \frac{\sqrt{5}}{30}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}}{30}$

## 問題2 (8)

1. 問題の内容

次の計算問題を解きます。

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}-2}$

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

第1項：

$\frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} \times \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = \frac{1+\sqrt{2}}{-1} = -1-\sqrt{2}$

第2項：

$\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{2}-\sqrt{3}$

第3項：

$\frac{1}{\sqrt{3}-2} = \frac{1}{\sqrt{3}-2} \times \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \frac{\sqrt{3}+2}{3-4} = \frac{\sqrt{3}+2}{-1} = -\sqrt{3}-2$

与式は次のようになります。

$(-1-\sqrt{2}) - (-\sqrt{2}-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}-2) = -1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - 2 = -1 - 2 = -3$

3. 最終的な答え

-3