定数 $a$ が与えられたとき、区間 $-5 \le x \le -3$ における関数 $y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$ の最小値を、$a \le -2$、$-2 \le a \le -1$、$-1 \le a$ のそれぞれの場合について求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、区間 $-5 \le x \le -3$ における関数 $y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a$ の最小値を、$a \le -2$、$-2 \le a \le -1$、$-1 \le a$ のそれぞれの場合について求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = x^2 - 4ax + 2x + 4a^2 - 4a = (x^2 + (2-4a)x) + 4a^2 - 4a$

$= (x + (1-2a))^2 - (1-2a)^2 + 4a^2 - 4a = (x - (2a-1))^2 - (1 - 4a + 4a^2) + 4a^2 - 4a = (x - (2a-1))^2 - 1$.

したがって、軸は $x = 2a - 1$ である。

(1) $a \le -2$ のとき、$2a-1 \le -5$ であるから、軸は区間の左端よりも左にある。よって、$x = -3$ で最小となる。

$y(-3) = (-3)^2 - 4a(-3) + 2(-3) + 4a^2 - 4a = 9 + 12a - 6 + 4a^2 - 4a = 4a^2 + 8a + 3$.

(2) $-2 \le a \le -1$ のとき、$-5 \le 2a-1 \le -3$ であるから、軸は区間内にある。よって、$x = 2a - 1$ で最小となる。

$y(2a-1) = (2a-1)^2 - 4a(2a-1) + 2(2a-1) + 4a^2 - 4a = 4a^2 - 4a + 1 - 8a^2 + 4a + 4a - 2 + 4a^2 - 4a = -1$.

(3) $-1 \le a$ のとき、$-3 \le 2a - 1$ である。

さらに、$2a-1$ が $-3$ より大きい場合を考える必要がある。$2a-1 \ge -3$ は $a \ge -1$ を意味するので、この範囲は $-1 \le a$ と一致する。

$-1 \le a$ なら、$2a-1 \ge -3$ である。軸が区間内か、右側にあるか考える。

$a \ge -1$ であり、$2a-1 \le -3$ ならば、 $a \le -1$ なので、$a = -1$。この場合、軸は $x = -3$ にあり、$x = -3$ が最小となる。 $y(-3) = 4a^2 + 8a + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$。

軸が $-3$ より大きい場合は、 $2a-1 > -3$、$2a > -2$、$a > -1$。この場合も $-3 \le x \le -5$ である。軸の位置とグラフの形状から、 $x=-3$ で最小となる。

$y(-3) = 4a^2 + 8a + 3$.

まとめると、$a \le -2$ のとき $4a^2 + 8a + 3$。$-2 \le a \le -1$ のとき $-1$。$-1 \le a$ のとき $4a^2+8a+3$ となる。

3. 最終的な答え

$a \le -2$ のとき $4a^2 + 8a + 3$

$-2 \le a \le -1$ のとき $-1$

$-1 \le a$ のとき $4a^2 + 8a + 3$