$\triangle OAB$ があり、$OA=3, OB=2, \cos{\angle AOB} = \frac{1}{12}$ である。辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $P$ とする。また、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。 (1) $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ を用いて表し、内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ の値を求めよ。 (2) $|\overrightarrow{OP}|$ の値を求めよ。また、$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{a}$ ($k$ は $0$ でない実数) となる点 $Q$ が $\overrightarrow{OQ} \perp \overrightarrow{PQ}$ を満たすとき、$k$ の値を求めよ。 (3) (2) のとき、直線 $AB$ 上に点 $P$ と異なる点 $R$ を、$OR=OP$ となるようにとる。$\overrightarrow{OR}$ を $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ を用いて表せ。また、$\triangle OAB$ の面積を $S$ とするとき、$\triangle OQR$ の面積を $S$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ があり、$OA=3, OB=2, \cos{\angle AOB} = \frac{1}{12}$ である。辺 $AB$ を $2:1$ に内分する点を $P$ とする。また、$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ とする。

(1) $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ を用いて表し、内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ の値を求めよ。

(2) $|\overrightarrow{OP}|$ の値を求めよ。また、$\overrightarrow{OQ} = k\overrightarrow{a}$ ($k$ は $0$ でない実数) となる点 $Q$ が $\overrightarrow{OQ} \perp \overrightarrow{PQ}$ を満たすとき、$k$ の値を求めよ。

(3) (2) のとき、直線 $AB$ 上に点 $P$ と異なる点 $R$ を、$OR=OP$ となるようにとる。$\overrightarrow{OR}$ を $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ を用いて表せ。また、$\triangle OAB$ の面積を $S$ とするとき、$\triangle OQR$ の面積を $S$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $P$ は辺 $AB$ を $2:1$ に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{2+1} = \frac{\overrightarrow{a} + 2\overrightarrow{b}}{3} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

内積 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ は、

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos{\angle AOB} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$

(2)

$|\overrightarrow{OP}|^2 = |\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}|^2 = \frac{1}{9}|\overrightarrow{a}|^2 + \frac{4}{9}|\overrightarrow{b}|^2 + \frac{4}{9}\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$

$= \frac{1}{9} \cdot 3^2 + \frac{4}{9} \cdot 2^2 + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{9} + \frac{16}{9} + \frac{2}{9} = \frac{27}{9} = 3$

よって、 $|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{3}$

$\overrightarrow{OQ} \perp \overrightarrow{PQ}$ より、$\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{PQ} = 0$

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{a} - (\frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}) = (k-\frac{1}{3})\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{PQ} = k\overrightarrow{a} \cdot ((k-\frac{1}{3})\overrightarrow{a} - \frac{2}{3}\overrightarrow{b}) = k(k-\frac{1}{3})|\overrightarrow{a}|^2 - \frac{2}{3}k(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$

$= k(k-\frac{1}{3}) \cdot 9 - \frac{2}{3}k \cdot \frac{1}{2} = 9k^2 - 3k - \frac{1}{3}k = 9k^2 - \frac{10}{3}k = 0$

$k(9k - \frac{10}{3}) = 0$

$k \neq 0$ より、$9k = \frac{10}{3}$

$k = \frac{10}{27}$

(3)

点 $R$ は直線 $AB$ 上にあるので、$\overrightarrow{OR} = (1-l)\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b}$ と表せる。

$|\overrightarrow{OR}| = |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{3}$ より、$|\overrightarrow{OR}|^2 = 3$

$|\overrightarrow{OR}|^2 = |(1-l)\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{b}|^2 = (1-l)^2|\overrightarrow{a}|^2 + 2l(1-l)(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + l^2|\overrightarrow{b}|^2$

$= (1-2l+l^2) \cdot 9 + 2l(1-l) \cdot \frac{1}{2} + l^2 \cdot 4 = 9 - 18l + 9l^2 + l - l^2 + 4l^2 = 12l^2 - 17l + 9 = 3$

$12l^2 - 17l + 6 = 0$

$(3l-2)(4l-3) = 0$

$l = \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$

$l = \frac{2}{3}$ のとき、$\overrightarrow{OR} = (1-\frac{2}{3})\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b} = \overrightarrow{OP}$ となり、$R$ と $P$ が一致するので不適。

$l = \frac{3}{4}$ のとき、$\overrightarrow{OR} = (1-\frac{3}{4})\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}$

$\triangle OAB$ の面積 $S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin{\angle AOB}$

$\cos{\angle AOB} = \frac{1}{12}$ より、$\sin^2{\angle AOB} = 1 - \cos^2{\angle AOB} = 1 - \frac{1}{144} = \frac{143}{144}$

$\sin{\angle AOB} = \frac{\sqrt{143}}{12}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{143}}{12} = \frac{\sqrt{143}}{4}$

$\overrightarrow{OQ} = \frac{10}{27}\overrightarrow{a}$

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}$

$\triangle OQR$ の面積 $= \frac{1}{2}|\overrightarrow{OQ}||\overrightarrow{OR}|\sin{\angle QOR}$ は難しい。

$\triangle OQR = \frac{1}{2} | (\frac{10}{27}\overrightarrow{a}) \times (\frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}) | = \frac{1}{2} | \frac{10}{27} \cdot \frac{3}{4} (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) | = \frac{1}{2} \cdot \frac{30}{108} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = \frac{5}{36} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$

$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\sin{\angle AOB} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{143}}{12} = \frac{\sqrt{143}}{2}$

$\triangle OQR = \frac{5}{36} \cdot \frac{\sqrt{143}}{2} = \frac{5\sqrt{143}}{72}$

$\triangle OQR = \frac{5}{36} \cdot 4S = \frac{5}{9}S$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{2}{3}\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \frac{1}{2}$

(2) $|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{3}$, $k = \frac{10}{27}$

(3) $\overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{a} + \frac{3}{4}\overrightarrow{b}$, $\triangle OQR = \frac{5}{9}S$