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与えられた数式の値を求める問題です。 数式は $\frac{1}{3-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1}$ です。

代数学数式の計算有理化分数
2025/5/24

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求める問題です。
数式は 13−5−15−1\frac{1}{3-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1} です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分母を有理化します。
13−5\frac{1}{3-\sqrt{5}} の分母を有理化するために、分母と分子に 3+53+\sqrt{5} を掛けます。
13−5=13−5⋅3+53+5=3+532−(5)2=3+59−5=3+54\frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{1}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{3+\sqrt{5}}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{3+\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{4}
次に、15−1\frac{1}{\sqrt{5}-1} の分母を有理化するために、分母と分子に 5+1\sqrt{5}+1 を掛けます。
15−1=15−1⋅5+15+1=5+1(5)2−12=5+15−1=5+14\frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{1}{\sqrt{5}-1} \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}+1}{(\sqrt{5})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{5}+1}{5-1} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}
与えられた式に有理化した値を代入します。
13−5−15−1=3+54−5+14=(3+5)−(5+1)4=3+5−5−14=24=12\frac{1}{3-\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}-1} = \frac{3+\sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{(3+\sqrt{5}) - (\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{3+\sqrt{5} - \sqrt{5} - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

12\frac{1}{2}

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