長方形ABCDにおいて、BC = 16cmである。BCを直径とする半円と、Cを中心とする半径8cmの扇形が描かれている。影の部分XとYの面積が等しいとき、ABの長さを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、BC = 16cmである。BCを直径とする半円と、Cを中心とする半径8cmの扇形が描かれている。影の部分XとYの面積が等しいとき、ABの長さを求める。

2. 解き方の手順

長方形ABCDの面積をSとする。

半円の面積を$S_{半円}$、扇形の面積を$S_{扇形}$とする。

影の部分Xの面積を$S_X$、影の部分Yの面積を$S_Y$とする。

$S_X = S - S_{半円} - (S_{扇形} - S_Y)$

条件より、$S_X = S_Y$であるから、

$S_Y = S - S_{半円} - (S_{扇形} - S_Y)$

$0 = S - S_{半円} - S_{扇形}$

$S = S_{半円} + S_{扇形}$

ここで、$S = AB \times BC = 16AB$

$S_{半円} = \frac{1}{2} \pi (\frac{BC}{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (8)^2 = 32\pi$

$S_{扇形} = \frac{1}{4} \pi (8)^2 = 16\pi$

したがって、

$16AB = 32\pi + 16\pi$

$16AB = 48\pi$

$AB = 3\pi$

3. 最終的な答え

$3\pi$ cm