点 $(5, 2, -3)$ を通り、直線 $x = 2 + 3t$, $y = 1 - t$, $z = 3 - 2t$ (tは実数)に平行な直線の方程式を求める問題です。

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5. 直線の方程式を求める問題

1. 問題の内容

点 $(5, 2, -3)$ を通り、直線 $x = 2 + 3t$, $y = 1 - t$, $z = 3 - 2t$ (tは実数)に平行な直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の方向ベクトルを求めます。

与えられた直線の方程式はパラメータ表示されているので、方向ベクトルは $t$ の係数から読み取れます。

この場合、方向ベクトルは $\vec{v} = (3, -1, -2)$ です。

求める直線は、点 $(5, 2, -3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (3, -1, -2)$ を持つので、その方程式はパラメータ表示で次のように表されます。

$x = 5 + 3s$

$y = 2 - s$

$z = -3 - 2s$

ここで、$s$ は実数パラメータです。

3. 最終的な答え

求める直線の方程式は、パラメータ表示で次のようになります。

$x = 5 + 3s$, $y = 2 - s$, $z = -3 - 2s$ (sは実数)

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6. 平行条件から定数を定める問題

1. 問題の内容

平面 $ax + 6y - 2z + 1 = 0$ と直線 $\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z-3}{5}$ が平行になるように定数 $a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた平面の法線ベクトルを求めます。

平面の方程式から、法線ベクトルは $\vec{n} = (a, 6, -2)$ となります。

次に、与えられた直線の方向ベクトルを求めます。

直線の方程式から、方向ベクトルは $\vec{v} = (-1, 2, 5)$ となります。

平面と直線が平行である条件は、直線の方向ベクトルが平面の法線ベクトルと垂直であることです。

つまり、$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ が成り立ちます。

$\vec{n} \cdot \vec{v} = a(-1) + 6(2) + (-2)(5) = -a + 12 - 10 = -a + 2 = 0$

したがって、$a = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

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7. 平面と直線の交点を求める問題

1. 問題の内容

点 $(2, -1, 6)$ を通りベクトル $(3, 1, -1)$ に垂直な平面と、直線 $\frac{x}{-2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2}$ の交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、平面の方程式を求めます。

点 $(2, -1, 6)$ を通り、法線ベクトルが $\vec{n} = (3, 1, -1)$ の平面の方程式は、次のようになります。

$3(x - 2) + 1(y + 1) - 1(z - 6) = 0$

$3x - 6 + y + 1 - z + 6 = 0$

$3x + y - z + 1 = 0$

次に、直線をパラメータ表示します。

$\frac{x}{-2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2} = t$ とすると、

$x = -2t$

$y = 3t + 2$

$z = 2t$

これらの値を平面の方程式に代入して、$t$ を求めます。

$3(-2t) + (3t + 2) - (2t) + 1 = 0$

$-6t + 3t + 2 - 2t + 1 = 0$

$-5t + 3 = 0$

$5t = 3$

$t = \frac{3}{5}$

求めた $t$ の値を直線の方程式に代入して、交点の座標を求めます。

$x = -2 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{6}{5}$

$y = 3 \cdot \frac{3}{5} + 2 = \frac{9}{5} + \frac{10}{5} = \frac{19}{5}$

$z = 2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

交点の座標は $\left(-\frac{6}{5}, \frac{19}{5}, \frac{6}{5}\right)$ です。

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8. 直線と球の交点を求める問題

1. 問題の内容

点 $C(4, 1, -3)$ を通りベクトル $(2, 2, -1)$ に平行な直線と、点 $C$ を中心とする半径 6 の球との交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線の方程式をパラメータ表示します。

点 $C(4, 1, -3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (2, 2, -1)$ に平行な直線の方程式は次のようになります。

$x = 4 + 2t$

$y = 1 + 2t$

$z = -3 - t$

次に、球の方程式を求めます。

中心が $C(4, 1, -3)$ で半径が 6 の球の方程式は次のようになります。

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 6^2 = 36$

直線の方程式を球の方程式に代入して、$t$ を求めます。

$(4 + 2t - 4)^2 + (1 + 2t - 1)^2 + (-3 - t + 3)^2 = 36$

$(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2 = 36$

$4t^2 + 4t^2 + t^2 = 36$

$9t^2 = 36$

$t^2 = 4$

$t = \pm 2$

$t = 2$ のとき

$x = 4 + 2(2) = 8$

$y = 1 + 2(2) = 5$

$z = -3 - 2 = -5$

$t = -2$ のとき

$x = 4 + 2(-2) = 0$

$y = 1 + 2(-2) = -3$

$z = -3 - (-2) = -1$

3. 最終的な答え

交点の座標は $(8, 5, -5)$ と $(0, -3, -1)$ です。